Binary Kesirler / İkili Kesirler

Binary kesirler, her bir ikili basamağın 2 tabanlı numaralandırma sistemini kullanması dışında ondalık sayılarla aynı ağırlıklandırma ilkesini kullanır.

Ondalık sayıların, onlu sayıdaki her bir basamağın 0 – 9 aralığında on olası değerden birini alabilmesi için taban on numaralandırma sistemini kullandığını biliyoruz.

Ondalık bir sayı boyunca, her hane, bir sağındaki haneye göre on kat daha büyük bir değere sahip olacaktır.

Fakat sağdan sola hareket ettikçe her bir rakam bir önceki rakamdan on kat daha büyük olmasının yanı sıra, her bir rakam da zıt yönde soldan sağa doğru ilerlerken, komşu sayısından on kat daha küçük olacaktır.

Örnek  : 1234.567

Burada bu ondalık sayı örneğinde, ondalık noktasının hemen sağındaki rakam (5 sayısı), ondalık noktasının hemen solundaki hanenin onda biri (1/10 veya 0.1) değerindedir yani 1’ler basamağına göre artık biz ondalık rakamlar kısmına geçiş yaptığımız için noktadan sonra kuvvet 1/10,1/100 oranında ilerler.

Böylece sayı boyunca, soldan sağa doğru hareket ettikçe, izleyen her hane değeri  sol pozisyonuna göre, onda biri kadar olacaktır.

Daha sonra, ondalık numaralandırma sistemi, bir konumsal gösterim üretir ya da nispi ağırlık değerleri kavramını kullanır ki burada her basamak, ondalık basamağın her iki yanında bulunan konuma bağlı olarak farklı bir ağırlıklı değeri temsil eder.

Bu nedenle, matematiksel olarak standart desimal numaralandırma sisteminde, bu değerler genellikle yukarıdaki örneğimizdeki ondalık basamağının solundaki her konum için 40, 31, 22, 13 olarak yazılmıştır.

Aynı şekilde, kesirli sayıların ondalık basamağın sağına getirilmesi için sayının ağırlığı daha negatif hale gelir: 5-1, 6-2, 7-3 vs.

Böylece, standart ondalık sistemdeki her basamağın, rakamın içindeki basamağın büyüklüğünü ya da ağırlığını gösterdiğini görebiliriz.

Artık herhangi bir ondalık sayının değeri, kendi ağırlıkları ile çarpılan hane sayısının toplamına eşit olacaktır, bu nedenle yukarıdaki örneğimizde: N = 1234.56710  ondalık biçimde şuna eşit olacaktır:

1000 + 200 + 30 + 4 + 0,5 + 0,06 + 0,007 = 1234,56710

veya her bir basamak hanesinin ağırlığını yansıtacak şekilde yazılabilir:

(1 x 1000) + (2 x 100) + (3 x 10) + (4 x 1) + (5 x 0.1) + (6 x 0.01) + (7 x 0.001) = 1234.56710

hatta polinom şeklinde göstermek istersek ;

(1 x 103) + (2 x 102) + (3 x 101) + (4 x 100) + (5 x 10-1) + (6 x 10-2) + (7 x 10-3) = 1234.56710

Ayrıca, her rakamın ikili(binary) sayı sisteminde yer aldığı pozisyona bağlı olarak farklı bir ağırlıklı değeri temsil ettiği bu konum gösterimi fikrini de kullanabiliriz.

Buradaki fark, ikili sayı sisteminin (veya sadece ikili sayıların), basamakların farklı ağırlıklı konumlarının  taban-10 yerine taban-2  gücüne sahip olduğu bir konumsal sistem olmasıdır.

Binary(İkili) Kesirler

İkili numaralandırma sistemi, sadece “0” ya da “1” olan iki basamak içeren bir taban-2 numaralandırma sistemidir.

Böylece bir ikili sayının her bir basamağı, “0” veya “1” değerini, 0 veya 1’in konumunu,ağırlığını belirterek alabilir.

İşaretsiz kesirli ikili sayılar adı verilen ve 1’den daha düşük değerler için ikili ağırlık alabiliriz.

Ondalık kesirlere benzer şekilde, ikili sayılar, ondalık sayıları sağdaki ondalık sayıya veya bu durumda ikili noktaya yerleştirerek işaretsiz kesirli sayı olarak da gösterilebilir.

Bu nedenle, ikili noktanın sağındaki tüm kesirli basamaklar, ikilik bir negatif fraksiyonu olan, ikili bir kesir yaratan ilgili ağırlıklara sahiptir.

Başka bir deyişle, 2’nin gücü negatiftir.

Böylece, ikili noktanın sağındaki kesirli ikili sayılar için, her bir basamağın ağırlığı  daha negatif hale gelir: 2-1, 2-2, 2-3, 2-4, vb.

20= 1

2-1= 1/2=1/2 = 0.5

2-3= 1/2=1/8 = 0.125  gibi.

Böylece, 0.10112‘nin ikili kesirini alırsak, her basamağın pozisyon ağırlıkları, ondalık eşdeğerini vererek dikkate alınır:

0.1011 =>  1 x 2-4 + 1 x 2-3 + 1 x 2-2 + 1 x 2-1  = 0.0625 + 0.125 + 0 + 0.5 = 0.687510 

İkili Kesirler Soru Örneği 1

Şimdi aşağıdaki ikili sayıya sahip olduğumuzu varsayalım: 1101.01112, ondalık sayı eşdeğeri ne olacaktır?

1101.0111 = (1 × 23) + (1 × 22) + (0 × 21) + (1 × 20) + (0 × 2-1) + (1 × 2-2) + (1 × 2-3) + (1 x 2-4)

 = 8 + 4 + 0 + 1 + 0 + 1/4 + 1/8 + 1/16

 = 8 + 4 + 0 + 1 + 0 + 0,25 + 0,125 + 0,0625 = 13,437510

Dolayısıyla, 1101.01112‘nin ondalık eşdeğeri sayısı şöyle verilmiştir: 13.437510

Böylece, 1(20) ‘dan daha az ağırlığa sahip olan ikili sayıların olduğu kesirli ikili sayıların, ikili ağırlık faktörünü sırasıyla her bir düşüş için iki değerine ardışık olarak bölerek ondalık sayılarına dönüştürülebileceğini görebiliyoruz.

Diğer İkili Kesirli Örnekler

0.11 = (1 x 2-1) + (1 x 2-2) = 0.5 + 0.25 = 0.7510

11.001 = (1 x 21) + (1 x 20) + (1 x 2-3) = 2 + 1 + 0.125 = 3.12510

1011.111 = (1 × 23) + (1 × 21) + (1 × 20) (1 × 2-1) + (1 × 2-2) + (1 × 2-3) = 8 + 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + 0,125 = 11,87510

Ondalıkları İkili Kesirlere Dönüştürme

Ondalık kesirin, kesirli bir ikili sayıya dönüşümü, tamsayılar için kullandığımıza benzer bir yöntem kullanılarak elde edilir.Bununla birlikte, bu zaman çarpımı, ondalık sayının kesirli bölümünün ikili eşdeğeri olan elde basamağı ile kullanılan geri kalanlar yerine tamsayılarla bölme yerine kullanılır.

Ondalıktan ikiliye dönüştürürken, ondalık sayının tamsayı (sağdan sola pozitif sıra) bölümü ve kesirli (soldan sağa doğru negatif kısım) kısmı ayrı olarak hesaplanır.

Sayının tamsayısı için, ikili eşdeğeri art arda en az anlamlı bitten (LSB) ters sırayla not ederek, (art arda bölünme olarak bilinir) ondalık sayının tamsayı kısmını art arda 2 (÷ 2) ile bölerek bulunur.En önemli bite (MSB) kadar, değer “0” oluncaya kadar ikili eşdeğeri üretilir.

Ondalık tamsayının ikili eşdeğerini bulun : 11810

118 (2’ye böl) = 59 artı kalan 0 (LSB)

59 (2’ye bölün) = 29 artı kalan 1 (↑)

29 (2’ye böl) = 14 artı kalanlar 1 (↑)

14 (2’ye böl) = 7 artı kalanlar 0 (↑)

7 (2’ye böl) = 3 artı kalan 1 (↑)

3 (2’ye bölün) = 1 artı kalan 1 (↑)

1 (2’ye böl) = 0 artı kalan 1 (MSB)

O halde 11810‘un ikilik eşdeğeri şöyledir: 11101102 ← (LSB)

Sayının kesirsel kısmı, ondalık sayının verilen kesirsel kısmını art arda 2 (x2) ile çarparak (art arda çarpım olarak bilinir), art arda iki basamak üreten değeri “0” olana kadar ilerleyen sıraya göre eşdeğeri belirtilir.

Bu yüzden çarpma işlemi 1’den büyük bir sonuç üretiyorsa, elde “1”dir ve çarpma işlemi “1”den daha az bir sonuç üretiyorsa, elde “0”dır.

Ayrıca, ardışık çarpma işlemlerinin sonucu sıfıra doğru ilerlemiyor gibi görünmesi durumunda, kesirli sayının sonsuz bir uzunluğa sahip olacağını veya eşdeğer sayıda bit elde edilinceye kadar, örneğin 8-bit veya gereken doğruluk derecesine bağlı olarak 16 bit vs. olacağına dikkat edin.

Ondalık kesrin ikili kesir eşdeğerini bulun: 0.812510

0.8125 (2 ile çarp) = 1.625 = 0.625 (1) MSB (0.6)

0,625 (2 ile çarp) = 1,25 = 0,25 elde 1

0.25 (2 ile çarp) = 0.50 = 0.5 elde 0 (↓)

0.5 (2 ile çarp) = 1.00 = 0.0 elde 1 (LSB)

Bu nedenle, 0.812510‘un ikilik eşdeğeri şöyledir: 0.11012 ← (LSB)

İkili bir kesri ondalık sayı eşdeğerine dönüştürmek için yukarıdaki prosedürü kullanarak bu cevabı iki kez kontrol edebiliriz: 0.1101 = 0.5 + 0.25 + 0.0625 = 0.812510

İkili Kesir Soru Örneği 2

Aşağıdaki ondalık sayıdaki ikili kesir eşdeğerini bulun: 54.6875

Öncelikle, yukarıdan art arda bölünmeyi kullanarak, tamsayı 54’i normal şekilde ikili bir sayıya dönüştürürüz.

54 (2’ye böl) = 27 kalan 0 (LSB)

27 (2’ye bölün) = 13 kalan 1 (↑)

13 (2’ye bölün) = 6 kalan 1 (↑)

6 (2’ye böl) = 3 kalan 0 (↑)

3 (2’ye böl) = 1 kalan 1 (↑)

1 (2’ye böl) = 0 kalan 1 (MSB)

Bu nedenle, 5410‘un ikili eşdeğeri şöyledir: 1101102

Sonra, 0.6875 ondalık kesrini ardışık çarpım kullanarak ikili bir kesir haline dönüştürürüz.

0.6875 (2 ile çarp) = 1.375 = 0.375 elde 1 (MSB)

0.375 (2 ile çarp) = 0.75 = 0.75 elde 0 (↓)

0.75 (2 ile çarp) = 1.50 = 0.5 elde 1 (↓)

0.5 (2 ile çarp) = 1.00 = 0.0 elde 1 (LSB)

Dolayısıyla, 0.687510‘un ikili eşdeğeri şöyledir: 0.10112 ← (LSB)

Bu nedenle, ondalık sayının Binary(ikilik) eşdeğeri: 54.687510, 110110.10112 olacaktır.

Özetle

Bu yazıda, ondalık kesirleri eşdeğer ikili kesre dönüştürmek için, ondalık kesirli kısmı ve sadece ondalık kesirli parçayı 2 ile çarpmamız ve Binary rakamın solunda görünen basamağı kaydetmemiz gereken İkili Kesirler hakkında  birtakım bilgileri gördük.

Elde basamağı olan bu ikilik rakam Her Zaman “0” veya “1” olacaktır.

Daha sonra kalan ondalık kesri 2 ile çarpmalıyız, kesir sıfıra indirilinceye kadar ya da tekrarlayan bir ikili kesir için gereken ikili bitler tamamlanıncaya kadar art arda çarpım kullanarak yukarıdaki diziyi tekrarlamalıyız.

Kesirli sayılar 2’nin negatif güçleri ile temsil edilir.

Karışık ondalık sayılar için iki ayrı işlem gerçekleştirmeliyiz.Tam sayı için ondalık basamağın solundaki art arda bölünme ve ondalık basamağın sağındaki kesirli kısım için art arda çarpma işlemi olmalıdır.

Karışık bir ondalık sayının tamsayı kısmının her zaman tam bir ikili sayı eşdeğeri olacağına dikkat edin, ancak ondalık kesirli kısım olmayabilir, çünkü ondalık kesir sayısını tam olarak göstermek istiyorsak, sonsuz sayıdaki ikili hane sayısıyla sonuçlanan tekrarlayan bir kesri elde edebiliriz.