Toplamın Çarpımı / Product of Sum

Bu yazımızda lojik tasarımın diğer bir temel yapı taşı olan ve lojik toplamların mantıksal çarpımını temsil eden Toplamın Çarpımı (POS – Product of Sums) kavramını tüm ayrıntılarıyla inceleyeceğiz.

Boole cebri, dijital devrelerin ve lojik kapıların tasarlanması, basitleştirilmesi ve mantıksal ifadelerinin analiz edilmesinde son derece güçlü kurallara sahiptir. Bir önceki yazımızda lojik kapıların ve çarpımların toplanmasını ifade eden Çarpımın Toplamı (SOP – Sum of Products) biçimini işlemiştik.

Matematikte iki veya daha fazla sayının toplanması sonucu elde edilen miktara “toplam” (sum) denirken, çarpılması sonucu elde edilen değere “ürün” (product) denir. Boole cebrinde de bu kavramlar birebir karşılık bulur: mantıksal toplama işlemi VEYA (OR) kapısıyla, mantıksal çarpma işlemi ise VE (AND) kapısıyla gerçekleştirilir. Lojik fonksiyonların sadeleştirilmesinde POS biçimi, özellikle bazı doğruluk tablolarının sade kapı tasarımlarına dönüştürülmesinde büyük kolaylık sağlar.

VEYA Kapısı ile Mantıksal Toplam

Aritmetik matematikte toplama işlemini göstermek için artı () sembolü kullanılır. Boole cebrinde de VEYA (OR) fonksiyonu toplama işlemi olarak kabul edilir ve yine artı () sembolü ile temsil edilir. Örneğin, iki girişli bir VEYA kapısının Boole denklemi şu şekilde yazılır:

Burada ve giriş değişkenleri olup, lojik “0” veya lojik “1” değerlerini alabilirler. Lojik toplamın çıkışı olan , giriş değişkenlerinden en az birinin “doğru” (1) olması durumunda “doğru” (1) değerini üretecektir. Bu işlem donanımsal olarak paralel anahtar bağlantılarına eşdeğerdir.

Boole Cebri Toplam Terimleri

Boole cebrindeki dinamik değişkenler ya da durumunu alarak devrenin anlık durumunu belirler (örn: veya ). Ancak devredeki sabit değerler ( ve Boole sabitleri) hiçbir şekilde değişmeyen mutlak değerlerdir. Yukarıda verilen şemada da görüldüğü üzere, VEYA kapıları kullanılarak mantıksal toplam terimleri oluşturulur.

VE Kapısı ile Mantıksal Çarpım

VEYA fonksiyonu lojik toplam terimlerini üretirken, VE (AND) fonksiyonu ise lojik ürün terimlerini üretir. Klasik çarpım işlemine benzeyen VE işlemi, aradaki nokta () işareti ile veya doğrudan değişkenlerin yan yana yazılmasıyla gösterilir. Örneğin, iki girişli bir VE kapısının lojik çarpım ifadesi şeklindedir.

Toplamın Çarpımı (Product of Sums – POS)

Lojik ifadelerin sadeleştirilmesinde kullanılan Toplamın Çarpımı (POS) biçimi, adından da anlaşılacağı üzere, önce giriş değişkenlerinin kendi aralarında toplanması (OR işlemi) ve ardından bu toplam terimlerinin mantıksal olarak çarpılması (AND işlemi) ile elde edilir. POS ifadeleri, donanım seviyesinde VEYA kapılarının çıkışlarının bir VE kapısının girişlerine bağlandığı iki aşamalı (OR-AND) bir lojik kapı yapısına karşılık gelir.

Örneğin, üç farklı toplam teriminin VE kapısıyla çarpılmasıyla oluşan aşağıdaki Boole fonksiyonu tipik bir POS ifadesidir:

Toplamın Çarpımının Lojik Kapılarla Gösterimi

Lojik kapı gösteriminde de görüldüğü gibi, değişken grupları öncelikle VEYA kapılarıyla toplanır, ardından çıkan ara sonuçlar bir VE kapısında birleştirilerek nihai lojik çarpım elde edilir. Toplamın Çarpımı (POS) mantığı, lojik sadeleştirme süreçlerinde özellikle Karnaugh Haritası (K-Map) yardımıyla çıkışı lojik 0 yapan durumların gruplanmasında son derece etkilidir. Lojik kapı tasarımlarını ve Boole serimizi kavradığımıza göre, dijital elektroniğin diğer karmaşık konularına güvenle geçiş yapabiliriz.