Boole Cebri Örnekleri ve Çözümleri

Boole Cebri Serisi
Mantık VE(AND) İşlemi	Mantık DEĞİL VEYA(NOR) İşlemi	DeMorgan Teoremi
Mantık VEYA(OR) İşlemi	Boole Cebrinin Kanunları	Anahtarlama Teorisi
Mantık DEĞİL(NOT) İşlemi	Boole Cebri Doğruluk Tabloları	Ürün Toplamı / Sum of Product
Mantık DEĞİL VE(NAND) İşlemi	Boole Cebri Örnekleri	Toplamın Çarpımı / Product of Sum

Boole cebri yasaları ve teoremleri, modern dijital mantık tasarımı ve bilgisayar mimarilerinde lojik devrelerin optimize edilmesinde kritik bir rol oynar. Karmaşık ve çok sayıda lojik kapıdan oluşan devre tasarımları, Boole cebri kuralları kullanılarak sadeleştirildiğinde; devre üzerindeki kapı sayısı, donanım maliyeti, gecikme süresi (propagation delay) ve en önemlisi güç tüketimi ciddi oranlarda azaltılabilmektedir.

Boole cebri serimiz boyunca mantıksal fonksiyonların cebirsel ifadelerini, lojik kapıların çalışma prensiplerini ve doğruluk tablolarını (truth table) detaylıca ele aldık. Bu yazımızda ise teorik bilgileri pratiğe dökmek ve daha karmaşık lojik devre şemalarını basitleştirme süreçlerini pekiştirmek amacıyla hazırladığımız **Boole Cebri Örnekleri** konusunu detaylı devre analizleriyle birlikte inceleyeceğiz.

Yazı İçeriği

Lojik Devre Örneği 1

İnceleyeceğimiz ilk mantıksal devre şemasında 3 adet temel lojik kapı bulunmaktadır. Bu mantıksal kapılar sırasıyla şunlardır:

2 Girişli Mantıksal VE DEĞİL (NAND) Kapısı
2 Girişli Mantıksal ÖZEL VEYA (XOR) Kapısı
2 Girişli Mantıksal ÖZEL VEYA DEĞİL (XNOR) Kapısı

Gelin, bu devrenin donanımsal davranışını anlamak amacıyla simülasyon yazılımı aracılığıyla kurduğumuz şemaya göz atalım.

Devre analiz edildiğinde; $A$ ve $B$ girişlerinin ilk olarak paralel bir şekilde hem bir NAND kapısına hem de bir XOR kapısına uygulandığı görülmektedir. Bu kapıların ürettiği ara çıkışlar ise son aşamada çıkıştaki XNOR kapısının girişlerini besler. Devremiz toplamda 2 girişe ( $A$ ve $B$ ) sahip olduğundan, doğruluk tablomuz $2^2 = 4$ farklı giriş kombinasyonundan oluşmaktadır. Girişlerin durumuna göre çıkış mantığını doğrulamak için hazırladığımız doğruluk tablosunu inceleyelim.

Doğruluk tablosunun çıkış ( $Q$ ) sütunu incelendiğinde; $A$ ve $B$ girişlerinin her ikisinin de sıfır ( $0$ ) olması durumunda çıkışın sıfır ( $0$ ) olduğu görülmektedir. Bunun dışındaki tüm giriş kombinasyonlarında (girişlerden biri veya her ikisi 1 olduğunda) çıkış kararlı bir şekilde lojik bir ( $1$ ) durumunu korumaktadır. Lojik fonksiyonu cebirsel olarak ifade edersek:

$Q = \overline{\overline{A \cdot B} \oplus (A \oplus B)}$

Lojik Devre Örneği 2

İkinci lojik devre örneğimizde de yine 3 adet temel mantıksal kapı bulunmaktadır. Bu kapıların türleri sırasıyla şunlardır:

2 Girişli Mantıksal VE (AND) Kapısı
2 Girişli Mantıksal VEYA (OR) Kapısı
2 Girişli Mantıksal VEYA DEĞİL (NOR) Kapısı

Bu devrenin donanımsal bağlantı şemasını simülasyon ortamında inceleyelim:

Şemada görüldüğü üzere, giriş değişkenlerimiz olan $A$ ve $B$ , ilk aşamada hem bir VE (AND) kapısına hem de bir NOR kapısına paralel olarak beslenir. Bu kapılardan elde edilen ara çıkışlar ise devrenin çıkış aşamasındaki VEYA (OR) kapısının girişlerine bağlanır. Bu lojik devrenin matematiksel Boole denklemini şu şekilde yazabiliriz:

$Q = (A \cdot B) + \overline{A + B}$

Devrenin giriş kombinasyonlarına karşılık gelen çıkış durumlarını belirten doğruluk tablosunu inceleyelim:

Doğruluk tablosundan anlaşılacağı üzere; girişlerin her ikisi de aynı lojik değere sahip olduğunda (yani $A=B=0$ veya $A=B=1$ durumlarında) çıkışımız lojik bir ( $1$ ) olmaktadır. Girişlerin birbirinden farklı olduğu durumlarda ( $01$ ve $10$ ) ise çıkış sıfır ( $0$ ) seviyesine inmektedir. Bu davranış, aslında standart bir **XNOR** (Özel VEYA Değiş) kapısının lojik fonksiyonu ile tamamen özdeştir. Yani Boole cebrini kullanarak bu 3 kapılı tasarımı tek bir XNOR kapısına indirgeyebiliriz!

Lojik Devre Örneği 3

Son lojik devre örneğimizde ise daha karmaşık ve toplamda 6 adet kapıdan oluşan bir sistem yer almaktadır. Bu sistemdeki kapıların dağılımı şöyledir:

2 Adet 2 Girişli Mantıksal VE (AND) Kapısı
2 Adet Mantıksal DEĞİL (NOT) Kapısı
2 Adet 2 Girişli Mantıksal VEYA (OR) Kapısı

Devrenin bağlantı şemasını simülasyon görseli üzerinden inceleyelim:

Boole cebrine ve sadeleştirme kurallarına (DeMorgan, Dağılma ve Yutma Yasaları) hakim olan tasarımcılar, bu tür 6 kapılı karmaşık yapıları saniyeler içinde analiz ederek gereksiz kapıları ayıklayabilirler. Bu sayede fiziksel devre kartındaki (PCB) entegre sayısı, harcanan akım ve maliyetler dramatik bir şekilde düşürülür. Gelin, bu 6 kapılı sistemin ürettiği doğruluk tablosunu inceleyerek çıkış davranışını görelim.

Tabloya göre, giriş kombinasyonlarından elde edilen reaksiyonlar açıkça listelenmiştir. Lojik kapıların bu temel kuralları ve Boole cebri pratikleri sayesinde dijital elektronik tasarımlarında üst seviye bir hakimiyete ulaşabilirsiniz. Boole cebri serimizi tamamladığımıza göre, bu temellerin üzerine kurulan ardışıl (sequential) lojik devreler ve flip-flop yapıları gibi ileri düzey konulara güvenle devam edebiliriz.

Yorum yapma özelliği, forum tarafından gelen istek sebebiyle kapatılmıştır. Lütfen tartışmalar ve sorularınız için topluluk forumumuza katılın.

Lojik Devre Örneği 1

Lojik Devre Örneği 2

Lojik Devre Örneği 3

İlgili Yazılar

Multimetre Nedir? Nasıl Kullanılır?

Ortalama Değer

Yükselteç (OPAMP) Genel Özet

Kirşof Akımlar Kanunu

Johnson Ring Sayacı