Sallen-Key Filtresi / Sallen and Key Filter

Sallen ve anahtar filtre tasarımı, düşük geçişli (LPF), yüksek geçişli (HPF) ve bant geçişli (BPF) filtre devreleri gibi daha yüksek mertebeden filtre devrelerini uygulamak için temel yapı taşları olarak kullanabileceğimiz ikinci mertebeden bir aktif filtre topolojisidir.

Bu filtreler bölümünde gördüğümüz gibi, pasif veya aktif elektronik filtreler, sinyal genliğinin sadece sınırlı bir frekans aralığında gerekli olduğu devrelerde kullanılır. Sallen-Key filtre tasarımlarını kullanmanın avantajı, uygulanması ve anlaşılması kolay olmasıdır.

Sallen ve Anahtar topoloji operasyonel amplifikatör ve iki direnç eviren, böylece kaynağı (VCVS), yüksek giriş empedansı ve düşük çıkış empedansı ve iyi bir istikrar filtre özellikleri ile tasarım bir gerilim kontrollü gerilim yaratma-tek bir sigara etrafında tabanlı aktif filtre tasarımı ve bu tür bireysel Sallen-key filtre bölümleri birlikte çok daha yüksek derece filtreler üretmek için basamaklı olmasını sağlar.

Ancak, Sallen-key filtresinin tasarımına ve çalışmasına bakmadan önce, önce bir dizi giriş frekansına maruz kaldığında tek bir direnç kondansatörünün veya RC ağının özelliklerini hatırlatalım.

Gerilim Bölücü

İki (veya daha fazla) direnç bir DC besleme gerilimi boyunca birbirine bağlandığında, her dirençte farklı voltaj değerleri geliştirilecek ve temel olarak bir voltaj bölücü veya potansiyel bölücü ağı olarak adlandırılacaktır.

Rezistif Gerilim Bölücü

Sallen-key Filtresi
Rezistif Gerilim Bölücü

Gösterilen temel devre, bir giriş voltajı olan VIN’E bağlı seri olarak iki dirençten oluşur.

Ohm Yasası bize bir direnç boyunca düşen voltajın, içinden akan akımın rezistif değeri olan V = I*r ile çarpıldığını söyler, bu nedenle iki direnç eşitse, her iki direnç boyunca düşen voltaj, R1 ve R2 de eşit olacak ve aralarında eşit olarak bölünecektir.

Rezistif Gerilim Bölücü Transfer Fonksiyonu

Sallen-key Filtresi
Rezistif Gerilim Bölücü Transfer Fonksiyonu

Giriş voltajını bir AC kaynağına veya sinyale değiştirirsek ve frekans aralığını değiştirirsek, çıkış voltajına ne olur? Dirençler genellikle frekanstaki değişikliklerden etkilenmediğinden (kablolu Kablolar hariç) hiçbir şey yoktur, bu nedenle frekans tepkileri sıfırdır, bu da AC, Irms2*R voltajlarının dirençler boyunca geliştirilmesine veya düşmesine izin verir.

RC gerilim bölücü

Yukarıdaki R1 direncini gösterildiği gibi bir kondansatör C’ye değiştirirsek, bu önceki iletim fonksiyonumuzu nasıl etkiler. Kondansatörler hakkındaki öğreticilerimizden, bir kondansatörün bir DC voltaj kaynağına bağlandığında şarj edildikten sonra açık devre gibi davrandığını biliyoruz.

Sallen-key Filtresi
RC gerilim bölücü

Sabit bir DC kaynağı VİN’e bağlandığında, kondansatör 5 zaman sabitinden (5T = 5RC) sonra tamamen şarj olur. Bu süre zarfında beslemeden akım çekmez. Bu nedenle, dirençten akan akım yoktur. R ve üzerinde Voltaj Düşüşü gelişmemiştir, bu nedenle çıkış voltajı yoktur. Başka bir deyişle, kondans atörlerşarj edildikten sonra sabit durum DC voltajlarını bloke eder.

Şimdi giriş beslemesini bir AC sinüzoidal voltaja değiştirirsek, bu basit RC devresinin özellikleri, sinyalin DC veya sabit kısmı bloke edildiğinde tamamen değişir. Şimdi frekans alanındaki RC devresini analiz ediyoruz, bu zamana bağlı olan sinyalin bir parçası.

Bir AC devresinde, bir kondansatör kapasitif reaktans özelliğine sahiptir, XC, ancak RC devresini sadece direnç devreleriyle yaptığımız gibi analiz edebiliriz, fark, kondansatörün empedansının şimdi frekansa bağlı olmasıdır.

AC devreleri ve sinyalleri için, kapasitif reaktans (XC), Ohm cinsinden ölçülen bir kondansatörden alternatif akım akışına karşıdır. kapasitif reaktans frekansa bağlıdır, yani düşük frekanslarda (ƒ ≤ 0) kapasitör açık devre gibi davranır ve bunları engeller

Çok yüksek frekanslarda (ƒ ƒ) kondansatör kısa devre gibi davranır ve sinyalleri doğrudan vout = Vin olarak çıkışa iletir. Bununla birlikte, bu iki frekans uç noktası arasında bir yerde, kondansatör XC tarafından verilen bir empedansa sahiptir.:

Sallen-key Filtresi

RC filtre devresi

Sallen-key Filtresi
RC filtre devresi

Grafik, bu basit 1. dereceden RC devresinin frekans tepkisini göstermektedir. Düşük frekanslarda, giriş sinyali kondansatörün reaktansı tarafından bloke edildiğinden voltaj kazancı son derece düşüktür. Yüksek frekanslarda, reaktans olduğu için voltaj kazancı yüksektir (birlik), kapasitörün bu yüksek frekanslara etkili bir şekilde kısa devre yapmasına neden olur, bu nedenle VOUT = VİN

Bununla birlikte, kondansatörün reaktansının direncin direncine eşit olduğu bir frekans noktası olur, yani: XC = R ve buna “kritik frekans” noktası denir veya daha yaygın olarak kesme frekansı veya köşe frekansı ƒC denmektedir.

Kesme frekansı denklemi

Sallen-key Filtresi
Kesme frekansı denklemi

Kesme frekansı, ƒC, bu örnekte devrenin, ƒc’nin altındaki tüm frekansları zayıflatmaktan veya engellemekten nerede değiştiğini tanımlar ve bu ƒC noktasının üzerindeki tüm frekansları geçmeye başlar. Böylece devre “yüksek geçiren filtre”olarak adlandırılır.

Kesme frekansı, giriş-çıkış sinyalinin oranının 0.707 büyüklüğüne sahip olduğu ve desibellere dönüştürüldüğünde-3db’ye eşit olduğu yerdir. Bu genellikle filtreler 3db aşağı noktası olarak adlandırılır.

Kondansatörün reaktansı frekansa bağlı olduğundan, yani kapasitif reaktans (XC) uygulanan frekansa ters olarak değiştiğinden, bu basit RC yüksek geçiren filtre devresinin transfer fonksiyonunu elde etmek için yukarıdaki voltaj bölücü denklemini değiştirebiliriz.

RC filtre devresi

Sallen-key Filtresi
RC filtre devresi

Bir RC filtresinin ana dezavantajlarından biri, çıkış genliğinin her zaman girişten daha az olacağıdır. Bu yüzden asla birlikten daha büyük olamaz. Ayrıca çıkışın daha fazla RC aşaması veya devresi tarafından harici olarak yüklenmesi, filtrelerin özelliklerini etkileyecektir. Bu sorunun üstesinden gelmenin bir yolu, temel RC yapılandırmasına bir işlem yükselticisi ekleyerek pasif RC filtresini “etkin RC filtresine” dönüştürmektir.

Bir operasyonel amplifikatör ekleyerek, temel RC filtresi, çıkışında gerekli miktarda voltaj kazancı sağlayacak şekilde tasarlanabilir. Böylece filtreyi bir zayıflatıcıdan bir amplifikatöre değiştirir. Ayrıca yüksek giriş empedansı ve düşük çıkış empedansı nedeniyle, operasyonel amplifikatör, filtrenin harici olarak yüklenmesini önler ve tasarlanan frekans tepkisini değiştirmeden geniş bir frekans aralığında kolayca ayarlanmasını sağlar.

Aktif Yüksek Geçiren Filtre

Sallen-key Filtresi
Aktif Yüksek Geçiren Filtre

Devrenin RC filtre kısmı, yukarıdakiyle aynı şekilde yanıt verir, yani yüksek frekansları geçirir, ancak düşük frekansları bloke eder, kesme frekansı R ve C değerleri ile ayarlanır. Operasyonel amplifikatör veya kısaca op-amp, voltaj kazancı iki direnç, R1 ve R2 oranı ile ayarlanan evirmeyen bir amplifikatör olarak yapılandırılır.

Daha sonra kapalı döngü voltaj kazancı, evirmeyen bir operasyonel amplifikatörün geçiş bandındaki AV şu şekilde verilir:

Kesme Frekansı Denklemi

Sallen-key Filtresi
Kesme Frekansı Denklemi

RC Filtre Örneği

Basit bir 1. mertebeden aktif yüksek geçişli filtrenin 500hz’lik bir kesme frekansına ve 9db’lik bir geçiş bandı kazancına sahip olması gerekir. Standart bir 741 operasyonel amplifikatörün kullanıldığını varsayarak gerekli bileşenleri hesaplayın.

Yukarıdan kesme frekansının ƒc’nin frekans seçici RC devresindeki R ve C değerleri ile belirlendiğini gördük. 5kΩ R için bir değer varsayarsak (herhangi bir makul değer yapar), o zaman C değeri şu şekilde hesaplanır:

Sallen-key Filtresi

Hesaplanan C değeri 63.65 nf’dir, bu nedenle kullanılan en yakın tercih edilen değer 62nf’dir.

Geçiş bandı bölgesindeki yüksek geçiş filtresinin kazancı +9db olmalıdır, bu da 2.83 AV voltaj kazancına eşittir. Geri besleme direnci için keyfi bir değer varsayalım, R1 15kΩ, bu direnç R1 için bir değer verir:

Sallen-key Filtresi

Yine R2’nin hesaplanan değeri 8197Ω’dir. En yakın tercih edilen değer 8200Ω veya 8.2 kΩ olacaktır. Bu daha sonra bize aktif yüksek geçiren filtre örneğimiz için son devreyi verir:

Yüksek Geçiren Filtre Devresi

Sallen-key Filtresi
Yüksek Geçiren Filtre Devresi

Basit bir birinci mertebeden yüksek geçiren filtrelerin, çıkış genliğinin giriş genliğinden-3dB aşağı olduğu bir kesme frekansı, ƒC noktası üreten tek bir direnç ve kondansatör kullanılarak yapılabileceğini gördük. İlkine ikinci bir RC filtre aşaması ekleyerek, devreyi ikinci dereceden yüksek geçişli bir filtreye dönüştürebiliriz.

İkinci dereceden RC filtresi

En basit ikinci mertebeden RC filtresi, gösterildiği gibi birbirine basamaklı iki RC bölümünden oluşur. Bununla birlikte, bu temel konfigürasyonun doğru çalışması için, iki RC aşamasının giriş ve çıkış empedansları birbirlerinin çalışmasını etkilememelidir, yani etkileşimsiz olmalıdır.

Yüksek Geçiren Filtre Devresi

Sallen-key Filtresi
Yüksek Geçiren Filtre Devresi

Bir RC filtre aşamasını diğeriyle (aynı veya farklı RC değerleri) basamaklandırmak çok iyi çalışmaz. Çünkü her ardışık aşama bir öncekini yükler ve daha fazla RC aşaması eklendiğinde, kesme frekansı noktası tasarlanan veya gerekli frekanstan daha uzağa hareket eder.

Pasif bir filtre tasarımı için bu sorunun üstesinden gelmenin bir yolu, ikinci RC aşamasının giriş empedansının, ilk RC aşamasının çıkış empedansından en az 10 kat daha büyük olmasıdır. Bu kesme frekansında RB = 10*R1 ve CB = CA/10’dur.

Bileşen değerlerini 10 kat arttırmanın avantajı, elde edilen ikinci mertebeden filtrenin basamaklı RC aşamalarından 40dB/decade daha dik bir yuvarlanma üretmesidir. Ancak 4. veya 6. dereceden bir filtre tasarlamak istiyorsanız, önceki bileşenlerin değerinin on katının hesaplanması zaman alıcı ve karmaşık olabilir.

Kolayca ayarlanabilen ve gerekli voltaj kazancını sağlamak için tasarlanabilen daha yüksek mertebeden filtreler (bireysel filtre bölümlerinin aynı olması gerekmez) oluşturmak için birbirleriyle etkileşime girmeyen veya yüklenmeyen RC filtre aşamalarını bir araya getirmenin basit bir yolu, Sallen-Key filtre aşamalarını kullanmaktır.

Sallen-Key Kesme Frekansı Denklemi

Sallen-key Filtresi
Sallen-Key Kesme Frekansı Denklemi

İki seri kapasitör CA ve CB eşit yapılırsa (CA = CB = C) ve iki direnç RA ve RB de eşit yapılırsa (RA = RB = R), yukarıdaki denklem orijinal kesme frekansı denklemine basitleştirir:

Sallen-key Filtresi

İşlemsel yükselteç bir birlik kazanç tamponu olarak yapılandırıldığından, yani A = 1, kesme frekansı, ƒC ve Q birbirinden tamamen bağımsızdır. Daha basit bir filtre tasarımı sağlar. Daha sonra büyütme faktörü, Q olarak hesaplanır:

Sallen-key Filtresi

Birlik kazançlı tampon konfigürasyonu için, filtre devresinin voltaj kazancı (AV) kesme frekansı noktasında 0.5 veya-6db’ye (aşırı sönümlü) eşittir. Bunu görmeyi bekleriz çünkü ikinci dereceden bir filtre yanıtı, 0.7071*0.7071 = 0.5. Yani-3dB * – 3dB = – 6dB’dir.

Bununla birlikte, Q değeri filtrenin tepki özelliklerini belirlediğinden, operasyonel amplifikatörlerin iki geri besleme direnci, R1 ve R2’nin doğru seçimi, seçilen büyütme faktörü için gerekli geçiş bandı kazancını seçmemize izin verir.

Bir Sallen-key filtre topolojiside A değerinin maksimum 3 değerine çok yakın seçilmesi yüksek Q değerleriyle sonuçlanacağını unutmayın. Yüksek bir Q filtre tasarımını R1 ve R2 geri besleme dirençlerinin değerlerindeki tolerans değişikliklerine duyarlı hale getirecektir. Örneğin, voltaj kazancını 2.9 (A = 2.9) olarak ayarlamak, Q değerinin 10 (1/(3-2.9)), böylece filtre ƒC civarında son derece hassas hale gelir.

Sallen-Key Filtre Yanıtı

Sallen-key Filtresi
Sallen-Key Filtre Yanıtı

Daha sonra, Q değeri ne kadar düşük olursa, Sallen-Key filtre tasarımının o kadar kararlı olacağını görebiliriz. Yüksek Q değerleri tasarımı kararsız hale getirebilirken, negatif Q üreten çok yüksek kazançlar salınımlara yol açacaktır.

Sallen-Key yüksek geçiren filtre

Sallen-key Filtresi

Daha sonra 200hz’lik bir kesme veya köşe frekansı, 2.667’lik bir geçiş bandı kazancı ve Q = 3 nedeniyle 8 (2.667*3) kesme frekansında maksimum voltaj kazancı ile, bu ikinci dereceden yüksek geçişli Sallen-Key filtrenin özelliklerini aşağıdaki Bode grafiğinde gösterebiliriz.

Sallen-key Filtresi
Sallen-Key Filtre Bode Diyagramı