Butterworth Filtre / Butterworth Filter

İletişim veya kontrol sistemlerinde olduğu gibi bir sinyalin frekans spektrumunu şekillendirmek için filtreler kullanan uygulamalarda, “geçiş bandı” olarak da adlandırılmaktadır. Yuvarlanma şekli veya genişliği, basit bir birinci dereceden filtre için çok uzun veya geniş olabilir. Bu nedenle birden fazla “sipariş” ile tasarlanmış aktif filtreler gereklidir. Bu tür filtreler genellikle “yüksek mertebeden” veya “n. mertebeden” filtreler olarak bilinmektedir.

Karmaşıklık veya filtre tipi, filtrelerin “sırası” ile tanımlanır. Tasarımındaki kondansatörler veya indüktörler gibi reaktif bileşenlerin sayısına bağlıdır. Ayrıca yuvarlanma oranının ve dolayısıyla geçiş bandının genişliğinin, filtrenin derece numarasına bağlı olduğunu ve basit bir birinci dereceden filtre için 20db/decade veya 6db/oktav yuvarlanma oranına sahip olduğunu biliyoruz.

Daha sonra, n.sayı sırasına sahip bir filtre için, 20n dB/decade veya 6n dB/oktav sonraki bir roll-off oranına sahip olacaktır. Bu nedenle, birinci mertebeden bir filtre 20db/decade (6dB/oktav), ikinci mertebeden bir filtre 40dB/decade (12dB/oktav) ve dördüncü mertebeden bir filtre 80db/decade (24dB/oktav) vb…

Üçüncü, dördüncü ve beşinci mertebe gibi yüksek mertebeden filtreler genellikle birinci mertebeden ve ikinci mertebeden filtrelerin bir araya getirilmesiyle oluşturulmaktadır.

Örneğin, iki ader ikinci dereceden düşük geçiş filtresi, dördüncü dereceden düşük geçiş filtresi vb. üretmek için birlikte basamaklandırılabilir. Oluşturulabilecek filtrenin sırası için bir sınır olmamasına rağmen, sipariş arttıkça boyutu ve maliyeti de artar. Bununla orantılı olarak da doğruluğu azalmaktadır.

Logaritmik Frekans Ölçeği

Butterworth Filtre
Logaritmik Frekans Ölçeği

Frekans belirleyici dirençlerin hepsi eşit olduğundan ve frekans belirleyici kapasitörler gibi birinci, ikinci, üçüncü veya hatta dördüncü dereceden bir filtre için kesme veya köşe frekansı ( ƒC ) de eşit olmalıdır.

Birinci ve ikinci mertebeden filtrelerde olduğu gibi üçüncü ve dördüncü mertebeden yüksek geçişli filtreler, eşdeğer düşük geçişli filtredeki frekans belirleyici bileşenlerin (dirençler ve kondansatörler) konumlarının basitçe değiştirilmesiyle oluşturulur. Yüksek mertebeden filtreler, daha önce alçak geçiren filtre ve yüksek geçiren filtre öğreticilerinde gördüğümüz prosedürleri izleyerek tasarlanabilir. Bununla birlikte yüksek mertebeden filtrelerin toplam kazancı sabittir, çünkü tüm frekans belirleyici bileşenler eşittir.

Filtre Yaklaşımları

Şimdiye kadar, birinci dereceden düşük ve yüksek geçişli filtre devrelerine ve sonuç olarak ortaya çıkan frekans ve faz tepkilerine baktık. İdeal bir filtre bize maksimum geçiş bandı kazancı ve düzlüğü, minimum durdurma bandı zayıflaması ve ayrıca bant yuvarlanmasını(geçiş bandı) durdurmak için çok dik bir geçiş bandı özellikleri verecektir.

Şaşırtıcı olmayan bir şekilde, doğrusal analog filtre tasarımında, filtre tasarımı için ihtiyaç duyduğumuz transfer fonksiyonuna en iyi şekilde yaklaşmak için matematiksel bir yaklaşım kullanan bir dizi “yaklaşım fonksiyonu” vardır.

Bu tür tasarımlar Eliptik, Butterworth, Chebyshev, Bessel, Cauer ve diğerleri olarak bilinir. Bu beş “klasik” doğrusal analog filtre yaklaşım fonksiyonundan sadece Butterworth filtresi ve özellikle alçak geçiren Butterworth filtre tasarımı burada en sık kullanılan fonksiyon olarak kabul edilecektir.

Alçak Geçiren Butterworth Filtre Tasarımı

Butterworth filtre yaklaşım fonksiyonunun Frekans tepkisi genellikle “maksimum düz “(dalgalanma yok) yanıtı olarak da adlandırılır, çünkü geçiş bandı 0hz (DC)’ den matematiksel olarak mümkün olduğunca düz bir frekans tepkisine sahip olacak şekilde tasarlanmıştır. Dalgalanma olmadan-3db’de kesme frekansı. Kesme noktasının ötesindeki daha yüksek frekanslar, 20db/decade veya 6db/oktavda stop bandında sıfıra inmektedir. Bunun nedeni, sadece 0.707’lik bir “kalite faktörü”, “Q” olmasıdır.

Bununla birlikte, Butterworth filtresinin ana dezavantajlarından biri, filtre geçiş bandından durdurma bandına değiştikçe geniş bir geçiş bandı pahasına bu geçiş bandı düzlüğünü elde etmesidir. Aynı zamanda zayıf faz özelliklerine de sahiptir. Farklı filtre siparişleri için “tuğla duvar” filtresi olarak adlandırılan ideal Frekans tepkisi ve standart Butterworth yaklaşımları aşağıda verilmiştir.

Butterworth Filtresi İçin İdeal Frekans Tepkisi

Butterworth Filtre
Butterworth Filtresi İçin İdeal Frekans Tepkisi

Butterworth filtre sırası ne kadar yüksek olursa, filtre tasarımında basamaklı aşamaların sayısı o kadar yüksek olur. Ardından filtre ideal “tuğla duvar” yanıtına o kadar yakın olur. Bununla birlikte pratikte Butterworth’un ideal Frekans tepkisi, aşırı geçiş bandı dalgalanması ürettiği için elde edilemez.

Butterworth filtresinin “n.” sırasını temsil eden genelleştirilmiş denklemin olduğu yerde, Frekans tepkisi şu şekilde verilir:

Butterworth Filtre

Burada: n filtre sırasını temsil eder, Omega ω 2nƒ’ye eşittir ve Epsilon ε maksimum geçiş bandı kazancıdır (Amax). Amax, cut-off-3db köşe noktasına (ƒc) eşit bir frekansta tanımlanırsa, ε daha sonra bire eşit olacak ve bu nedenle ε2 de bir olacaktır. Bununla birlikte, şimdi Amax’ı 1dB veya 1.1220 (1db = 20*logAmax) gibi farklı bir voltaj kazanç değerinde tanımlamak istiyorsanız, epsilon’un yeni değeri ε şu şekilde bulunur:

Butterworth Filtre

Filtre Tasarımı – Butterworth Alçak Geçiren

Özellikleri şu şekilde verilen aktif bir alçak geçiren Butterworth filtresinin sırasını bulun: 200 radyan/sn (31.8 Hz) geçiş bandı frekansında (wp) Amax = 0.5 dB ve 800 radyan/sn durdurma bandı frekansında (ws) Amin = -20dB. Ayrıca bu gereksinimleri karşılamak için uygun bir Butterworth filtre devresi tasarlayın:

İlk olarak, maksimum geçiş bandı kazancı Amax = 0.5 dB, 1.0593’lük bir kazanca eşittir, şunu unutmayın: 0.5 dB = 20 * log(a) 200 rads/s’lik bir frekansta (wp), bu nedenle Epsilon ε değeri:

Butterworth Filtre

ikinci olarak, minimum durdurma bandı kazancı Amin = – 20db, 800 rads/s veya 127.3 Hz’lik bir durdurma bandı frekansında (ws) 10 (- 20dB = 20*log (a)) kazancına eşittir.

Butterworth filtrelerinin Frekans tepkisi için değerleri genel denklemde değiştirmek bize aşağıdakileri verir:

Butterworth Filtre

N her zaman bir tamsayı ( tam sayı ) olması gerektiğinden, 2.42’ye kadar olan bir sonraki en yüksek değer n = 3’tür. Bu nedenle “üçüncü dereceden bir filtre gereklidir”. Üçüncü dereceden bir Butterworth filtresi üretmek için birinci dereceden bir filtre aşaması ile birlikte basamaklı ikinci dereceden bir filtre aşaması gereklidir.

Yukarıdaki normalleştirilmiş düşük geçişli Butterworth polinomları tablosundan, üçüncü dereceden bir filtre için katsayı (1+s)(1+s+s2) olarak verilir. Bu bize 3-a = 1 veya a = 2’lik bir kazanç sağlar. A = 1 + (Rf/R1) olarak, hem geri besleme direnci Rf hem de direnç R1 için bir değer seçmek bize sırasıyla 1kΩ ve 1kω değerlerini verir: ( 1kΩ/1kΩ ) + 1 = 2.

Kesme köşesi frekansının, – 3dB noktasının (wo) formül 1/CR kullanılarak bulunabileceğini biliyoruz, ancak daha sonra WP geçiş bandı frekansından wo bulmamız gerekiyor,

Butterworth Filtre
W0

Böylece, kesme köşesi frekansı 284 rads/s veya 45.2 Hz, (284/2π) olarak verilir ve tanıdık formül 1/CR’Yİ kullanarak üçüncü dereceden devremiz için dirençlerin ve kapasitörlerin değerlerini bulabiliriz.

Butterworth Filtre

0.352 uf’ye en yakın tercih edilen değerin 0.36 uF veya 360nF olacağını unutmayın.

Üçüncü Dereceden Butterworth Alçak Geçiren Filtre

ve son olarak, 284 rads/s veya 45.2 Hz kesme açısı frekansı, 0.5 dB maksimum geçiş bandı kazancı ve 20db minimum durdurma bandı kazancı ile üçüncü dereceden düşük geçişli Butterworth filtre devremiz aşağıdaki gibi oluşturulmuştur.

Butterworth Filtre
Üçüncü Dereceden Butterworth Alçak Geçiren Filtre

Bu nedenle 3. dereceden Butterworth alçak geçiren Filtremiz, 45.2 Hz, C = 360nF ve r = 10kω köşe frekansına sahip olacaktır.