İletişim ve kontrol sistemleri başta olmak üzere, bir sinyalin frekans spektrumunu şekillendirmek gereken her uygulamada filtreler kritik rol oynar. Ancak birinci dereceden filtrelerin geçiş bölgesi çoğu zaman geniş kalır. Bu nedenle daha dik yuvarlanma ve daha iyi seçicilik için birden fazla dereceden oluşan aktif filtre yapıları kullanılır. Bu tip devreler genel olarak “yüksek mertebeden” ya da “n’inci mertebeden” filtreler olarak adlandırılır.
Filtrenin karmaşıklığı, yani tipi ve davranışı, büyük ölçüde filtre derecesi ile belirlenir. Derece; devredeki kondansatör veya indüktör gibi reaktif eleman sayısıyla ilişkilidir. Ayrıca yuvarlanma oranı (roll-off) da doğrudan dereceye bağlıdır: birinci derecede yaklaşık 20 dB/dekad (6 dB/oktav), ikinci derecede 40 dB/dekad (12 dB/oktav) elde edilir.
Genel kural olarak n’inci dereceden bir filtre için eğim 20n dB/dekad (veya 6n dB/oktav) olur. Dolayısıyla; 1. derecede 20 dB/dekad, 2. derecede 40 dB/dekad, 4. derecede 80 dB/dekad gibi daha keskin bir zayıflatma davranışı görülür.
Üçüncü, dördüncü ve beşinci dereceler gibi yüksek mertebeli filtreler pratikte çoğunlukla birinci ve ikinci dereceli kademelerin kaskat bağlanmasıyla gerçekleştirilir.
Örneğin iki adet ikinci dereceden alçak geçiren kademe, dördüncü dereceden alçak geçiren bir yapı elde etmek için ardışık kullanılabilir. Teorik olarak dereceyi artırmanın kesin bir sınırı yoktur; ancak derece yükseldikçe devre boyutu, maliyet ve ayar hassasiyeti ihtiyacı artar. Bu nedenle tasarımda performans-hedef dengesi kurulmalıdır.
Logaritmik Frekans Ölçeği
Frekans belirleyici dirençlerin hepsi eşit olduğundan ve frekans belirleyici kapasitörler gibi birinci, ikinci, üçüncü veya hatta dördüncü dereceden bir filtre için kesme veya köşe frekansı ( ƒC ) de eşit olmalıdır.
Birinci ve ikinci mertebeden filtrelerde olduğu gibi üçüncü ve dördüncü mertebeden yüksek geçişli filtreler, eşdeğer düşük geçişli filtredeki frekans belirleyici bileşenlerin (dirençler ve kondansatörler) konumlarının basitçe değiştirilmesiyle oluşturulur. Yüksek mertebeden filtreler, daha önce alçak geçiren filtre ve yüksek geçiren filtre öğreticilerinde gördüğümüz prosedürleri izleyerek tasarlanabilir. Bununla birlikte yüksek mertebeden filtrelerin toplam kazancı sabittir, çünkü tüm frekans belirleyici bileşenler eşittir.
Filtre Yaklaşımları
Temel düşük ve yüksek geçiren filtre incelemelerinde gördüğümüz gibi, ideal bir filtre; geçiş bandında yüksek ve düz bir kazanç, durdurma bandında güçlü bir zayıflatma ve bu iki bölge arasında mümkün olduğunca dik bir geçiş sunmalıdır.
Pratik analog filtre tasarımında bu ideale yaklaşmak için matematiksel “yaklaşım fonksiyonları” kullanılır. Her yaklaşım, geçiş bandı dalgalanması, faz doğruluğu ve geçiş dikliği arasında farklı bir mühendislik dengesi sunar.
Yaygın yaklaşım aileleri arasında Eliptik, Butterworth, Chebyshev, Bessel ve Cauer yer alır. Bu klasik doğrusal analog yaklaşımlar içinde Butterworth, özellikle dalgalanmasız (maksimum düz) geçiş bandı karakteristiği nedeniyle çok sık tercih edilir. Bu içerikte de odak, alçak geçiren Butterworth tasarım mantığı üzerinedir.
Alçak Geçiren Butterworth Filtre Tasarımı
Butterworth filtre tepkisi “maksimum düz” (ripple’sız) olarak tanımlanır. Geçiş bandı, 0 Hz (DC) noktasından kesim frekansına kadar olabildiğince düz tutulur ve kesim noktası -3 dB seviyesinde kabul edilir. Bu noktanın ötesinde genlik tipik olarak stop bandına doğru 20 dB/dekad (6 dB/oktav) eğimle düşer. Bu davranışın temelinde yaklaşık 0.707’lik kalite faktörü (Q) ilişkisi bulunur.
Butterworth yaklaşımının önemli bir dezavantajı, geçiş bandındaki bu düzgünlüğü genellikle daha geniş bir geçiş bölgesi pahasına sağlamasıdır. Ayrıca faz doğruluğu bazı diğer yaklaşım ailelerine göre daha sınırlı olabilir. Yine de birçok pratik uygulamada sunduğu dengeli karakteristik oldukça değerlidir.
Butterworth Filtresi İçin İdeal Frekans Tepkisi
Filtre derecesi yükseldikçe, kaskat kademe sayısı artar ve elde edilen eğri ideal “tuğla duvar” (brick-wall) davranışına yaklaşır. Bununla birlikte, tamamen ideal bir tepki pratikte sınırsız bileşen doğruluğu gerektirdiğinden tam olarak gerçekleştirilemez.
Butterworth filtresinin n’inci derecesi için genelleştirilmiş frekans tepki ifadesi aşağıdaki formül ile verilir:
Burada n filtre derecesini temsil eder, Ω normalize frekans değişkenidir ve ε maksimum geçiş bandı kazancı (Amax) ile ilişkilidir. Amax değeri kesim frekansında -3 dB noktasına göre tanımlanırsa ε = 1 olur; dolayısıyla ε² de 1’e eşittir. Eğer Amax farklı bir değer (ör. 1 dB ya da 1.1220 gerilim kazancı) için tanımlanırsa ε değeri aşağıdaki bağıntıdan yeniden hesaplanır.
Filtre Tasarımı – Butterworth Alçak Geçiren
Örnek: Özellikleri verilen aktif bir alçak geçiren Butterworth filtre için dereceyi belirleyelim. Geçiş bandı frekansı wp = 200 rad/sn (31.8 Hz) noktasında Amax = 0.5 dB, durdurma bandı frekansı ws = 800 rad/sn noktasında ise Amin = -20 dB olsun. Ayrıca bu şartları sağlayacak devre kurgusu çıkarılsın.
İlk adımda Amax = 0.5 dB değeri yaklaşık 1.0593’lük gerilim kazancına karşılık gelir (0.5 dB = 20·log(a)). wp = 200 rad/sn için buna bağlı ε değeri aşağıdaki gibi bulunur:
İkinci adımda, durdurma bandı koşulu Amin = -20 dB için ws = 800 rad/sn (127.3 Hz) noktasındaki zayıflatma karşılığı kullanılır.
Butterworth frekans tepki denklemine bu değerler yerleştirildiğinde:
Hesap sonucunda derece değeri yaklaşık n = 2.42 çıkar. Derece tam sayı olmak zorunda olduğundan bir üst tam sayıya yuvarlanır ve n = 3 seçilir. Yani bu şartlar için üçüncü dereceden bir Butterworth filtre gerekir.
Üçüncü dereceli yapı, bir adet birinci dereceli kademe ile bir adet ikinci dereceli kademenin kaskat bağlanmasıyla elde edilir. Normalleştirilmiş Butterworth polinomundan üçüncü derece için katsayı (1+s)(1+s+s²) biçimindedir. Buradan kazanç ilişkisi için A = 2 elde edilir. Op-amp kazanç bağıntısı A = 1 + (Rf/R1) olduğundan örnek olarak Rf = 1 kΩ ve R1 = 1 kΩ seçilirse toplam kazanç 2 olur.
Kesim açısal frekansının (wo) hesaplanmasında 1/CR ilişkisi kullanılır. Geçiş bandı frekansından wo değeri elde edilir:
Böylece kesim açısal frekansı yaklaşık 284 rad/sn (yaklaşık 45.2 Hz, yani 284/2π) bulunur. Ardından 1/CR formülü ile direnç ve kapasitör değerleri seçilerek devre tamamlanır.
0.352 uf’ye en yakın tercih edilen değerin 0.36 uF veya 360nF olacağını unutmayın.
Üçüncü Dereceden Butterworth Alçak Geçiren Filtre
Sonuç olarak; 284 rad/sn (45.2 Hz) kesim frekansı, 0.5 dB maksimum geçiş bandı kazancı ve 20 dB minimum durdurma bandı zayıflatması şartlarını sağlayan üçüncü dereceden Butterworth alçak geçiren filtre devresi aşağıdaki gibi elde edilir.
Bu durumda 3. dereceden Butterworth alçak geçiren filtre için temel tasarım değerleri yaklaşık olarak fc = 45.2 Hz, C = 360 nF ve R = 10 kΩ olur.
Yorum yapma özelliği, forum tarafından gelen istek sebebiyle kapatılmıştır. Lütfen tartışmalar ve sorularınız için topluluk forumumuza katılın.