Durum Değişkeni Filtresi / State Variable Filter

Durum değişken filtreleri, tek tek filtre çıkışlarını üretmek için birbirine basamaklı üç (veya daha fazla) operasyonel amplifikatör devresi (aktif eleman) kullanır. Ancak gerekirse dördüncü çentik filtre çıkış tepkisi üretmek için ek bir toplama amplifikatörü de eklenebilir.

Durum değişken filtreleri, her biri birinci dereceden, tek kutuplu düşük geçiş filtresi, filtre kazancını ve sönümleme geri besleme ağını ayarlayabileceğimiz bir toplama amplifikatörü olarak işlev gören iki özdeş op-amp entegratöründen oluşan ikinci dereceden RC aktif filtrelerdir. Her üç op-amp aşamasından gelen çıkış sinyalleri, devrenin durumunu tanımlamamıza izin veren girişe geri beslenir.

Durum değişkenli filtre tasarımının en önemli avantajlarından biri, filtrelerin üç ana parametresinin, kazanç (A), köşe frekansı, ƒC ve filtrelerin Q’nun, filtrelerin performansını etkilemeden bağımsız olarak ayarlanabilmesi veya ayarlanabilmesidir.

Aslında, doğru tasarlanmışsa, hem düşük geçiş genliği yanıtı hem de yüksek geçiş genliği yanıtı için-3db köşe frekansı, (ƒc ) noktası, bant geçiş aşamasının Merkez frekans noktası ile aynı olmalıdır. Yani ƒLP(-3db), ƒBP(Merkez) ‘ e eşit olan ƒhp’ye (- 3dB) eşittir. Ayrıca bant geçiren filtre tepkisi için sönümleme faktörü ( ζ), Q-3db’de (0.7071) ayarlanacağı için 1/Q’ya eşit olmalıdır.

Filtre düşük geçiş (LP), yüksek geçiş (HP) ve bant geçişi (BP) çıkışları sağlasa da, bu tip filtre devresinin ana uygulaması, iki RC tamsayısı tarafından ayarlanan Merkez frekansı olan bir durum değişkeni bant geçiren filtre tasarımıdır.

Daha önce bir bant geçiren filtrelerin özelliklerinin, düşük geçişli bir filtreyi yüksek geçişli bir filtreyle bir araya getirerek elde edilebileceğini görmüş olsak da, durum değişken bant geçiren filtreler, Merkez frekans noktasında yüksek kazançlar sunan yüksek seçici (yüksek Q) olacak şekilde ayarlanabilmeleri avantajına sahiptir.

Hem ters hem de ters çevrilmemiş varyasyonlara sahip standart filtre tasarımına dayanan çeşitli durum değişken filtre tasarımları mevcuttur. Bununla birlikte, temel filtre tasarımı, aşağıdaki blok diyagramı gösteriminde gösterildiği gibi her iki varyasyon için de aynı olacaktır.

Durum Değişken Filtre Bloğu Diyagramı

Durum Değişkeni Filtresi
Durum Değişken Filtre Bloğu Diyagramı

Daha sonra, yukarıdaki temel blok diyagramından durum değişken filtresinin, her biri üç op-amp’den biri olan üç olası çıkışa, VHP, VBP ve VLP’YE sahip olduğunu görebiliriz. Dördüncü bir op-amp eklenerek bir çentik filtre yanıtı da gerçekleştirilebilir.

Sabit bir giriş voltajı ile toplama amplifikatöründen çıkan VIN çıkışı, aynı zamanda ilk RC Entegratörünün girişi haline gelen yüksek geçiş tepkisi üretir. Bu entegratörün çıkışı, çıkışında düşük geçiş yanıtı üreten ikinci RC Entegratörünün girişi haline gelen bir bant geçiren yanıt üretir. Sonuç olarak, giriş voltajına göre her bir çıkış için ayrı transfer fonksiyonları bulunabilir.

Durum Değişken Filtre Devresi

Durum Değişkeni Filtresi
Durum Değişken Filtre Devresi

Durum Değişken Filtresinin Normalleştirilmiş Yanıtı

Durum Değişkeni Filtresi

Bir durum değişkeni filtresinin ana tasarım öğelerinden biri, iki op-amp entegratörünün kullanılmasıdır. Entegratör öğreticisinde gördüğümüz gibi, op-amp entegratörleri geri besleme döngüsü içinde kondansatör şeklinde frekansa bağlı bir empedans kullanırlar. Bir kondansatör kullanıldığında, çıkış voltajı gösterildiği gibi giriş voltajının integrali ile orantılıdır.

Op-amp Entegratör Devresi

Durum Değişkeni Filtresi
Op-amp Entegratör Devresi
Durum Değişkeni Filtresi

,Vout çıkış voltajı, zamana göre Vın giriş voltajının integralinin 1/RC katı sabittir. Entegratörler, 180o faz kaymasını gösteren Eksi işareti ( – ) ile bir faz gecikmesi üretir, çünkü giriş sinyali doğrudan op-amp’in ters giriş terminaline bağlanır.

Op-amp A2 Transfer Fonksiyonu

Durum Değişkeni Filtresi
Op-amp A2 Transfer Fonksiyonu

Diğer OP-amp entegratörü A3 için transfer fonksiyonunu bulmak için yukarıdaki gibi tam olarak aynı varsayım yapılabilir.

Op-amp A3 Transfer Fonksiyonu

Durum Değişkeni Filtresi

Böylece iki op-amp entegratörü, A2 ve A3 kademeli halde birbirine bağlanır. Böylece birinciden (VBP) çıkış ikincisinin girişi olur. Bu sayede bant geçiş yanıtının yüksek geçiş yanıtını entegre ederek oluşturulduğunu ve düşük geçiş yanıtının bant geçiş yanıtını entegre ederek oluşturulduğunu görebiliriz. Bu nedenle, VHP ve VLP arasındaki aktarım işlevi şu şekilde verilir:

Durum Değişkeni Filtresi

Entegratörün her aşamasının ters çevrilmiş bir çıktı sağladığını ancak entegratörleri ters çevirdikleri için toplam çıktıların pozitif olacağını unutmayın. İki devrenin aynı entegratör zaman sabitine sahip olması için R ve C için tam olarak aynı değerler kullanılıyorsa, iki amplifikatör devresi, ƒC köşe frekansına sahip tek bir entegratör devresi ile kabul edilebilir.

İki entegratör devresinin yanı sıra, filtre ayrıca girişlerinin ağırlıklı bir toplamını sağlayan bir diferansiyel toplama amplifikatörüne de sahiptir. Buradaki avantaj, A1 toplama amplifikatörüne girişlerin, her üç çıkış da toplama girişlerine geri beslendiğinden, filtreye salınım geri bildirimi sönümleme ve giriş sinyallerini birleştirmesidir.

Amplifikatör Toplama Devresi

Durum Değişkeni Filtresi
Amplifikatör Toplama Devresi

Operasyonel amplifikatör, A1 bir toplayıcı-çıkarıcı devresi olarak bağlanır.. Yani, giriş sinyalini, vın’yi op-amp A2’nin VBB çıkışı ile toplar ve ondan op-amp A3’ün VLP çıkışını çıkarır.

Durum Değişkeni Filtresi

ve

Durum Değişkeni Filtresi

Diferansiyel girişler olarak, bir operasyonel amplifikatörün +V ve-V’si aynıdır, yani: +V – -V, A1 çıkışı, yüksek geçiş çıkışı için transfer fonksiyonunu bulmak için yukarıdaki iki ifadeyi yeniden düzenleyebiliriz.

Durum Değişkeni Filtresi

Durum Değişken Filtre Transfer Fonksiyonu

Durum Değişkeni Filtresi

Daha önce bir durum değişken filtresinin üç filtre yanıtı, düşük geçiş, yüksek geçiş ve bant geçişi ürettiğini ve bant geçiş yanıtının çok dar bir yüksek Q filtresinin yanıtı olduğunu söyledik.

Normalleştirilmiş 2. Dereceden Transfer Fonksiyonu

Durum Değişkeni Filtresi

Durum Değişken Filtre Köşe Frekansı

Durum Değişkeni Filtresi

R3 ve R4 geri besleme dirençlerini aynı değerler yaparsak, durum değişken filtresinden çıkan her filtrenin köşe frekansı basitçe olur:

Durum Değişkeni Filtresi

Durum değişkeni köşe frekansı o ayar sadece değişen ya da ayarlama direnci, R veya kondansatör, C. gerçekleştirilir.

Durum değişken filtreleri sadece bireysel çıkış tepkileri ile değil, aynı zamanda kalite faktörü olan “Q” filtreleri ile de karakterize edilir. Q, bant geçiren filtrelerin genlik tepki eğrisinin “keskinliği” ile ilgilidir. Q ne kadar yüksek olursa, çıkış tepkisi o kadar yüksek veya daha keskin olur ve bu da oldukça seçici bir filtreye neden olmaktadır.

Bir Durum Değişkeni Filtresinin Q Faktörü

Durum Değişkeni Filtresi

Durum Değişken Filtre Tasarımı

Durum Değişkeni Filtresi

Şimdi, durum değişken filtre devresi için bireysel çıkış tepki eğrilerini, gösterildiği gibi bir Bode grafiğine 1Hz ila 1MHz arasında bir frekans aralığında çizebiliriz.

Durum Değişkeni Filtresi
Durum Değişken Filtre Bode Arsa

Daha sonra, yukarıdaki filtre tepki eğrilerinden, filtre devresinin DC kazancının yukarıda hesaplandığı gibi açık döngü voltaj kazancı, Ao veya 1.9’a eşit olan 5.57 db’de olduğunu görebiliriz. Ayrıca çıkış eğrilerinin Q değerine bağlı olarak köşe frekansında maksimum 25.6 dB voltaj kazancında zirveye ulaştığını göstermektedir. Q, bant geçiren filtrelerin Merkez frekansını bant genişliği ile de ilişkilendirdiğinden, filtrenin bant genişliği şu şekilde olacaktır: ƒo/10 = 100Hz.

Bu durum değişken filtre öğreticisinde, bir tür frekans yanıtı üreten aktif bir filtre yerine, aynı anda üç filtre yanıtını, düşük geçişi, yüksek geçişi ve bant geçişini aynı anda üretmek için çoklu geri besleme tekniklerini kullanabileceğimizi gördük.

Notch(Çentik) Filtre Tasarımı

Bir çentik filtresi filtresi temel olarak bir bant geçiren filtrenin tersidir, çünkü belirli bir frekans bandını reddeder veya durdurur. Sonra çentik filtre de “band stop filter”olarak bilinir. Temel durum değişken filtre tasarımından bir çentik filtresinin yanıtını elde etmek için, başka bir op-amp toplama amplifikatörü kullanarak yüksek geçişli ve düşük geçişli çıkış yanıtlarını bir araya getirmeliyiz.

Durum Değişkeni Filtresi
Notch Filtre Tasarımı

Burada her şeyi basit tutmak için iki giriş direncinin, R5 ve R6’nın yanı sıra geri besleme direncinin, r7’nin hepsinin R3 ve R4 ile aynı 10kΩ değerine sahip olduğunu varsaydık. Bu nedenle, çentik filtresine 1, birlik kazancı verir.

Çentik filtresinin ve bant geçiren filtrenin çıkış yanıtı, bant geçiren yanıtın Merkez frekansının çentik filtresinin sıfır yanıt noktasına eşit olması ile ilgilidir ve bu örnekte 1kHz olacaktır.

Değişken Notch Filtre Derinliği

Durum Değişkeni Filtresi