DeMorgan Teoremi

Boole cebrinde daha önceden de bildiğimiz gibi önemli iki kavram bulunmaktadır. Bunlar sırasıyla “1” ve “0” olacaktır. Bunların yanı sıra boole cebri üzerine çalışırken aslında konu hakkında bir sürü kural ve teorem olduğunu öğrendik. İşte DeMorgan Teoremi de burada karşımıza çıkmaktadır.

De Morgan kuralı, geçmişte İngiliz matematikçi Augustus De Morgan tarafından geliştirilmeye (1806-1871) başlanmıştır.

DeMorgan Teoremi

Kural 1

DeMorgan teoreminin altında 2 ana matematiksel ifade bulunmaktadır. Buradaki formüller VE, VEYA, DEĞİL işlemleri için geliştirildi. O zaman gelin ilk denklemimizi görelim:

Boole cebrinde aslında şu ana kadar öğrendiğimiz konuları burada kullanarak zaten bu denklemin sağlamasını rahatça yapabiliriz ama bunu daha net bir hale getirmek için yapmamız gereken birkaç şey bulunmaktadır. Bunlardan en önemlisi doğruluk tablosunu çıkartıp bütün kombinasyonlarını görmektir.

DeMorgan’ın ilk Teoremini doğruluk tablosu

Aslında tabloya baktığımızda da görüyoruz ki girişin her ikiside sadece “1” olduğunda, çıkışımız sıfır olmaktadır. Onun dışında diğer durumların da çıkışı çok rahat bir şekilde bu tablo üzerinden anlaşılmaktadır. Bu tablonun çıkarımı da aslında bu giriş değerlerini sırayla vererek çıkmak mümkündür.

Bu denklemi aynı zamanda lojik kapılar aracılığıyla da göstermek mümkündür.

DeMorgan’ın İlk Yasasının Lojik Kapılar İle İfadesi

Aslında bir önce serimizde lojik kapıları ve onların nasıl matematiksel ifade haline dönüştürüldüğünü görmüştük. Orada öğrenmiş olduğumuz bu kritik bilgileri burada kullanırsak aslında bu devreyi de çözümlemek bir o kadar kolay olacaktır. Örnek veriyorum DEĞİL kapısına giren bir sinyalin terslendiğini biliyor olursak, gerisini halletmek çok olasıdır.

Kural 2

DeMorgan Teoreminin ilk kanununu öğrendiğimize göre artık ikinci kuralımıza geçebiliriz. O zaman gelin formülümüzü görelim:

Matematiksel formülümüzü öğrendiğimize göre artık doğruluk tablomuzu inceleyebiliriz.

Doğruluk tablomuzu da incelediğimize göre buradan anlıyoruz ki aslında matematiksel ifadeye sahip olduğumuzda tabloyu oluşturmak çok kolay oluyor. O zaman gelin son olarak bu kuralımızı lojik kapılarla oluşturalım.