DeMorgan teoremi, temel mantık işlemleri olan VE (AND), VEYA (OR) ve DEĞİL (NOT) arasındaki matematiksel ilişkileri tanımlayan iki temel kanundan oluşur.
Dijital mantık tasarımında ve Boole cebrinde lojik ‘0’ (düşük seviye) ve lojik ‘1’ (yüksek seviye) durumları, ikili (binary) sayı sisteminin temelini oluşturur. Boole cebri üzerinde çalışırken, karmaşık mantık devrelerini basitleştirmek ve analiz etmek amacıyla kullanılan bir dizi yasa ve teorem geliştirilmiştir. Bu teoremler arasında en güçlü ve en sık başvurulanlardan biri **DeMorgan Teoremi (De Morgan’s Laws)**’dir.
Bu teorem, 19. yüzyılda yaşamış ünlü İngiliz matematikçi ve mantıkçı **Augustus De Morgan** (1806-1871) tarafından formüle edilmiştir. Günümüzde dijital kapı entegrasyonunda ve yazılım algoritmalarında mantıksal ifadelerin tersini almak veya kapı dönüşümlerini gerçekleştirmek için vazgeçilmez bir araçtır.
DeMorgan Teoremi Yasaları
DeMorgan 1. Teoremi (NAND – Negatif OR Eşdeğerliği)
DeMorgan teoremi, temel mantık işlemleri olan VE (AND), VEYA (OR) ve DEĞİL (NOT) arasındaki matematiksel ilişkileri tanımlayan iki temel kanundan oluşur. Birinci teoremin Boole cebri ifadesi şu şekildedir:
Bu teoremin matematiksel ispatını yapmak ve doğruluğunu görselleştirmek amacıyla doğruluk tablosu (truth table) yöntemine başvurulur. İki giriş değişkeninin (
ve 
) tüm olası lojik kombinasyonları (
) için eşitliğin her iki tarafının ürettiği çıktılar adım adım hesaplanır.
DeMorgan 1. Teoremi Doğruluk Tablosu
Doğruluk tablosunu incelediğimizde, 
(NAND) ifadesinin ürettiği çıkışların, 
(girişleri terslenmiş VEYA) sütunundaki çıkışlarla her satırda birebir aynı olduğunu görmekteyiz. Yalnızca her iki giriş de lojik ‘1’ olduğunda çıkış lojik ‘0’ olur; diğer tüm durumlarda çıkış lojik ‘1’ seviyesindedir. Bu durum, matematiksel eşitliğin kesin kanıtıdır.
Bu denklemi aynı zamanda lojik kapılar aracılığıyla da göstermek mümkündür.
DeMorgan 1. Teoreminin Mantık Kapıları ile Gösterimi
Mantık devre şemasında görüldüğü gibi, bir NAND (VE DEĞİL) kapısı, girişleri önceden değillenmiş (evrilmiş) bir VEYA kapısına (Bubble-OR veya Negatif OR) tam olarak eşdeğerdir. Bu eşdeğerlik, devre kartlarında kapı türlerinin esnek bir şekilde dönüştürülmesine ve entegre kullanım sayısının azaltılmasına olanak tanır.
DeMorgan 2. Teoremi (NOR – Negatif AND Eşdeğerliği)
Birinci teoremin ardından, DeMorgan’ın ikinci kanunu ise VEYA işleminin tümleyenini VE işlemi cinsinden tanımlar. Matematiksel olarak şu şekilde ifade edilir:
Bu ikinci kuralın ispatı da benzer şekilde doğruluk tablosu oluşturularak yapılır. Tablo, 
ile 
ifadelerinin her olası lojik durumda aynı sonucu verdiğini doğrular.
Tablodaki veriler analiz edildiğinde, çıkışın yalnızca her iki girişin de lojik ‘0’ olduğu durumda lojik ‘1’ olduğu, diğer tüm kombinasyonlarda ise çıkışın lojik ‘0’ seviyesinde kaldığı görülür. Son olarak, bu teoremi lojik kapılarla şematize edelim.
DeMorgan 2. Teoreminin Mantık Kapıları ile Gösterimi
Yorum yapma özelliği, forum tarafından gelen istek sebebiyle kapatılmıştır. Lütfen tartışmalar ve sorularınız için topluluk forumumuza katılın.