Seri Bağlı RC Ağları: Bütünleştirici (Integrator)

Serimizin bu yazısında Seri Bağlı RC Ağları: Bütünleştirici (Integrator) konusunu işleyeceğiz. Pasif bir RC entegratör devresi için, giriş bir dirence bağlanırken, çıkış voltajı RC Farklılaştırıcı Devresinin tam tersi olan bir kapasitörden alınır. Kondansatör, giriş yüksek olduğunda şarj olur ve giriş düşük olduğunda boşalır.

Elektronikte, temel seri bağlı direnç-kondansatör (RC) devresi, temel şarj/deşarj devrelerinden yüksek dereceli filtre devrelerine kadar birçok kullanım ve uygulamaya sahiptir. Bu iki bileşenli pasif RC devresi yeterince basit görünebilir Ancak uygulanan giriş sinyalinin tipine ve frekansına bağlı olarak, bu temel RC devresinin davranışı ve yanıtı çok farklı olabilir.

Pasif bir RC ağı, bir kapasitör ile seri bağlı bir dirençten başka bir şey değildir. Yani plakaları boyunca frekans arttıkça azalan frekansa bağlı bir reaktansa sahip bir kapasitör ile seri olarak sabit bir dirençtir. Bu nedenle, düşük frekanslarda kapasitörün reaktansı, Xc’si yüksektir. Yüksek frekanslarda ise Xc = 1/(2πƒC) standart kapasitif reaktans formülü nedeniyle reaktansı düşüktür ve bu etkiyi Pasif Düşük Geçişli Filtreler hakkındaki öğreticimizde gördük. .

Giriş sinyali bir sinüs dalgası ise, bir rc entegratörü, RC zaman sabitine (tau, τ) karşılık gelen kesme veya köşe frekansı ile kesme noktasının üzerinde basit bir düşük geçiş filtresi (LPF) olarak hareket edecektir. Böylece, saf sinüs dalgası ile beslendiğinde, bir RC entegratörü, çıkışını kesim frekans noktasının üzerine indiren pasif bir alçak geçiren filtre görevi görür.

Daha önce gördüğümüz gibi, RC zaman sabiti, direnç ve kapasitans arasındaki ilişkiyi zamana göre, saniye cinsinden verilen süre ile direnç, R ve kapasitans, C ile doğru orantılı olarak yansıtır.

Bu nedenle, şarj veya deşarj hızı, RC zaman sabitine, τ = RC’ye bağlıdır. Aşağıdaki devreyi düşünün.

RC Entegratörü

Bütünleştirici
RC Entegratörü

Bir RC entegratör devresi için giriş sinyali, kondansatör üzerinden alınan çıkışla dirence uygulanır. Ardından VOUT, VC’ye eşittir. Kondansatör frekansa bağlı bir eleman olduğundan, plakalar arasında oluşan yük miktarı akımın zaman alanı integraline eşittir. Yani kondansatör anlık olarak şarj olamadığı için sadece üstel olarak şarj olduğundan kapasitörün tam olarak şarj olması belirli bir süre alır.

Bu nedenle kapasitör akımı şu şekilde yazılabilir:

Bütünleştirici

iC = C(dVc/dt)’nin yukarıdaki bu temel denklemi, aynı zamanda, bize aşağıdaki standart denklemi veren Q’nun zamana göre anlık değişim hızı olarak da ifade edilebilir: iC = dQ/dt burada yük Q = C x Vc, yani kapasitans çarpı gerilimdir.

Kapasitörün yüklenme (veya boşalma) hızı, devrenin zaman sabitini veren direnç ve kapasitans miktarı ile doğru orantılıdır. Böylece bir RC entegratör devresinin zaman sabiti, R ve C’nin çarpımına eşit olan zaman aralığıdır.

Kapasitans Q/Vc’ye eşit olduğundan, burada elektrik yükü, Q bir akımın (i) zaman (t) üzerindeki akışıdır. Yani ixt’nin coulomb cinsinden ürünüdür. Ohm yasasından voltajın (V) eşit olduğunu biliyoruz. ix R’ye, bunları RC zaman sabiti denkleminde yerine koyarsak:

RC Zaman Sabiti

Bütünleştirici

O zaman görebiliriz ki, hem i hem de R birbirini götürürken, bir RC entegratör devresinin zaman sabitinin, Yunanca tau, τ harfi verildiğinde, saniye cinsinden zaman boyutuna sahip olduğunu gösteren sadece T kalır. Bu zaman sabitinin, kapasitörün maksimum voltajın %63,2’sine kadar şarj olması veya maksimum voltajın %36,8’ine kadar deşarj olması için gereken süreyi (saniye olarak) yansıttığını unutmayın.

Kondansatör Voltajı

Bütünleştirici

Daha önce RC entegratörü için çıktının kapasitör üzerindeki gerilime eşit olduğunu söylemiştik, yani: VOUT eşittir VC. Bu voltaj, yük ile orantılıdır, Q, Q = VxC tarafından verilen kapasitörde depolanır. Sonuç, çıkış voltajının, R ve C değerlerine ve dolayısıyla ağın zaman sabitine bağlı olan entegrasyon miktarı ile giriş voltajının integrali olmasıdır.

Yukarıda kapasitör akımının zamana göre yük değişim oranı Q olarak ifade edilebileceğini gördük. Bu nedenle, diferansiyel hesabın temel bir kuralından, Q’nun zamana göre türevi dQ/dt’dir ve i = dQ/dt olarak aşağıdaki ilişkiyi elde ederiz:

Q = ∫idt (zamanda herhangi bir anda kapasitör üzerindeki Q yükü)

Giriş dirence bağlı olduğundan, aynı akım, direnç boyunca bir VR voltaj düşüşü üreterek hem dirençten hem de kapasitörden (iR = iC) geçmelidir. Böylece akım, (i) bu seri RC ağından akmaktadır.

Bütünleştirici

Bu yüzden:

Bütünleştirici

i = VIN/R olduğundan, zamanın bir fonksiyonu olarak VOUT’u çözmek için aşağıdaki verilebilir:

Bütünleştirici

Başka bir deyişle, bir RC entegratör devresinden gelen, kondansatör üzerindeki voltaj çıkışı, 1/RC sabiti ile orantılı VIN, giriş voltajının zaman integraline eşittir. RC’nin zaman sabitini temsil ettiği yerde, τ.

Daha sonra kapasitör üzerindeki ilk yükün sıfır olduğu, yani VOUT = 0 olduğu ve giriş voltajı VIN’in sabit olduğu varsayılarak, çıkış voltajı, VOUT zaman alanında şu şekilde ifade edilir:

RC Entegratör Formülü

Bütünleştirici
RC Entegratör Formülü

Yani bir RC entegratör devresi, çıkış voltajının, VOUT’un giriş voltajının integrali ile orantılı olduğu bir devredir. Bunu akılda tutarak, bir adım voltajı şeklinde tek bir pozitif darbe uyguladığımızda ne olacağını görelim. RC entegratör devresi.

Tek Darbeli RC Entegratörü

Bir RC entegratörünün girişine tek kademeli bir voltaj darbesi uygulandığında, kondansatör darbeye yanıt olarak direnç aracılığıyla şarj olur. Bununla birlikte, kondansatör üzerindeki voltaj anlık olarak değişemediğinden ancak kondansatör RC zaman sabiti τ = RC tarafından belirlenen bir hızda şarj olurken katlanarak arttığından çıkış anlık olmayacaktır.

Bütünleştirici

Artık kondansatörün şarj veya deşarj olma hızının devrenin RC zaman sabiti tarafından belirlendiğini biliyoruz. İdeal bir adım voltajı darbesi uygulanırsa, yani ön kenar ve arka kenar anlık olarak kabul edilirse, kondansatör üzerindeki voltaj şarj için artacak ve deşarj için azalacaktır. Zaman içinde katlanarak şu şekilde belirlenen bir oranda:

Kondansatör Şarjı

Bütünleştirici
Kondansatör Şarjı

Kondansatör Deşarjı

Bütünleştirici
Kondansatör Deşarjı

Dolayısıyla, bir volt (1V) kapasitör voltajı varsayarsak, aşağıdaki tabloda gösterildiği gibi her bir R zaman sabiti için kondansatörün şarj veya deşarj yüzdesini çizebiliriz.

Bütünleştirici
Kondansatör şarj veya deşarj yüzdesi

5 veya daha fazla zaman sabitinde, kapasitörün yüzde 100 tam dolu veya tamamen boşalmış olarak kabul edildiğini unutmayın. Şimdi gösterildiği gibi 100kΩ direnç ve 1uF kapasitörden oluşan bir RC entegratör devremiz olduğunu varsayalım.

RC Entegratör Devre Örneği

Bütünleştirici

RC entegratör devresinin zaman sabiti τ bu nedenle şu şekilde verilir: RC = 100kΩ x 1uF = 100ms.

Bu nedenle, girişe örneğin iki zaman sabiti (200mS) süreli bir adım voltaj darbesi uygularsak, yukarıdaki tablodan kapasitörün tam şarjlı değerinin %86,4’üne kadar şarj olacağını görebiliriz. Bu darbe 10 voltluk bir genliğe sahipse, giriş darbesi sıfıra dönerken kapasitör tekrar dirençten kaynağa boşalmadan önce bu 8.64 volta eşittir.

Kondansatörün 5 zaman sabiti bir zamanda veya bir sonraki giriş darbesinin gelmesinden 500mS önce tamamen boşalmasına izin verildiğini varsayarsak, şarj ve deşarj eğrilerinin grafiği şöyle görünecektir:

RC Entegratör Şarj/Deşarj Eğrileri

Bütünleştirici
RC Entegratör Şarj/Deşarj Eğrileri

Kondansatörün 10 volt girişten değil, 8,64 voltluk (2 zaman sabiti) bir başlangıç ​​değerinden deşarj olduğuna dikkat edin. Ardından, RC zaman sabiti sabit olduğundan, giriş darbe genişliğindeki herhangi bir değişikliğin RC entegratör devresinin çıkışını etkileyeceğini görebiliriz. Darbe genişliği artırılırsa ve 5RC’ye eşit veya daha büyükse, çıkış voltajı girişle aynı değere ulaştığı için çıkış darbesinin şekli girişinkine benzer olacaktır.

Bununla birlikte, darbe genişliği 5RC’nin altına düşürülürse, kapasitör yalnızca kısmen şarj olur ve maksimum giriş voltajına ulaşamaz, bu da daha küçük bir çıkış voltajına neden olur, çünkü kapasitör o kadar şarj edemez ve bu da girişin integrali ile orantılı bir çıkış voltajına neden olur. Gerilim.

Bu nedenle, bir zaman sabitine eşit bir giriş darbesi varsayarsak, yani 1RC, kapasitör değişim anında 0 volt ile 10 volt arasında değil, kapasitör üzerindeki voltajın %63,2 ile %38,7’si arasında şarj olur ve deşarj olur. Bu değerlerin RC zaman sabiti tarafından belirlendiğini unutmayın.

Sabit RC Entegratör Zaman Sabiti

Bütünleştirici
Sabit RC Entegratör Zaman Sabiti

Bu nedenle, sürekli bir darbe girişi için, girişin periyodik zamanı ile devrenin RC zaman sabiti arasındaki doğru ilişki, girişin entegrasyonu, bir tür rampa çıkışı ve ardından bir rampa aşağı çıkışı üreterek gerçekleşecektir. Ancak devrenin bir entegratör olarak doğru çalışması için, RC zaman sabitinin değeri, giriş periyodik zamanına kıyasla büyük olmalıdır. Bu, genellikle 10 kat daha büyük olan RC ≫ T’dir.

Bu çıkış voltajının (1/RC ile orantılı olan) büyüklüğünün, çıkış voltajını ciddi şekilde azaltan yüksek ve düşük voltajları arasında çok küçük olacağı anlamına gelir. Bunun nedeni, kapasitörün darbeler arasında şarj etmek ve boşaltmak için çok daha az zamana sahip olmasıdır. Ancak ortalama çıkış DC voltajı girişin yarısına doğru artacaktır ve yukarıdaki darbe örneğimizde bu 5 volt (10/2) olacaktır.

Sinüs Dalgası RC Entegratörü

Bütünleştirici
Sinüs Dalgası RC Entegratörü

Burada, birinci RC entegratörü, orijinal darbe şeklindeki girişi, ikinci RC entegratörünün girişi haline gelen, artan ve azalan üçgen dalga biçimine dönüştürür. Bu ikinci RC entegratör devresi, entegrasyon derecesini etkileyen RC zaman sabiti ile orijinal giriş sinyali üzerinde etkili bir çift entegrasyon gerçekleştirdiğinden, üçgen dalga formunun noktalarını sinüs dalgasına dönüştürerek yuvarlar.