On Altılı Sayı Sistemi ve İkili Dönüşüm / Hexadecimal Numbers

On altılı sayı sistemi, ikili sayıları 16 farklı ikili basamağın dönüştürülmesine izin veren dörtlü setler halinde gruplandırır.

İkili sayıların ana dezavantajı, büyük bir ondalık taban-10 sayısının ikili dize eşdeğerinin oldukça uzun olabilmesidir.

Bilgisayarlar gibi büyük dijital sistemlerle çalışırken, 8, 16 ve hatta 32 basamaktan oluşan ikili sayılar bulmak yaygındır, bu da özellikle 16 veya 32 bitlik çok sayıda çalışırken hata üretmeden hem okumayı hem de yazmayı zorlaştırır.

Bu sorunun üstesinden gelmenin yaygın bir yolu, ikili sayıları dört bitlik gruplar veya kümeler halinde düzenlemektir. Bu 4 bitlik gruplar, Hexadecimal Numbers(on altılık sayılar) adı verilen bilgisayar ve dijital sistemlerde yaygın olarak kullanılan başka bir numaralandırma sistemini kullanır.

On altılı numaralandırma sistemi taban 16 sistemini kullanır ve uzun ikili değerleri temsil etmek için popüler bir seçimdir çünkü biçimleri oldukça kompakttır ve 1’ler ve 0’lardan oluşan uzun ikili dizilere kıyasla anlaşılması çok daha kolaydır.

Bir taban-16 sistemi olduğundan, on altılık numaralandırma sistemi, bu nedenle, 0’dan 15’e kadar sayıların bir kombinasyonu ile 16 (on altı) farklı basamak kullanır . Başka bir deyişle, 16 olası rakam sembolü vardır.

Bununla birlikte, 10, 11, 12, 13, 14 ve 15’in ondalık sayılarının normalde iki bitişik sembol kullanılarak yazılması gerçeğinden kaynaklanan, bu basamak gösterimi yönteminin kullanılmasıyla ilgili potansiyel bir sorun vardır . Örneğin, 10’u onaltılık olarak yazarsak, onluk sayıyı mı yoksa ikinin ikili sayısını mı (1 + 0) kullanmamız gerektiğini karar vermeliyiz. Bu zor sorunu aşmak için on, onbir, değerlerini tanımlayan onaltılık sayılar sırasıyla A, B, C, D, E ve F büyük harfleriyle değiştirilir. On altılı sayı sisteminde 10 tabanlı sayılarda olan rakamlara ilave olarak altı rakam daha vardır. ( A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15)
a ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}

Daha önce de söylediğimiz gibi, ikili diziler oldukça uzun ve okunması zor olabilir, ancak bu büyük ikili sayıları çift gruplara bölerek onları yazmayı ve anlamayı çok daha kolay hale getirerek hayatı kolaylaştırabiliriz. Örneğin, ikili rakam grubu 1101 0101 1100 11112 , hepsi bir araya toplandığında 11010101110011112′ye  göre okunması ve anlaşılması çok daha kolaydır.

Ondalık sayı sisteminin günlük kullanımında, bir milyon veya trilyon gibi çok büyük bir sayıyı anlamamızı kolaylaştırmak için sağ taraftan üç basamaklı veya 000’li gruplar kullanırız ve aynı şey dijital sistemlerde de geçerlidir.

On altılı Sayılar , yalnızca ikili veya ondalık sayı kullanmaktan daha karmaşık bir sistemdir ve çoğunlukla bilgisayarlar ve bellek adres konumlarıyla uğraşırken kullanılır. Bir ikili sayıyı 4 bitlik gruplara bölerek, her grup veya 4 basamaklı set artık “ 0000 ” (0) ile “ 1111 ” (8+4+2+1 = 15) arasında olası bir değere sahip olabilir ve bir 0’dan 15’e kadar toplam 16 farklı sayı kombinasyonu gösterebiliriz.

İkili Sayılar hakkındaki ilk öğreticimizden , 4 bitlik bir basamak grubuna “nibble” dendiğini ve onaltılık bir sayı üretmek için 4 bitin de gerekli olduğunu hatırlıyoruz; yarım bayt. Daha sonra 00 ile FF arasında bir tam bayt üretmek için iki onaltılık sayı gerekir 

Ayrıca, ondalık sistemde 16 , 2’nin (veya 2 4  ) dördüncü kuvveti olduğundan, 2 ve 16 sayıları arasında doğrudan bir ilişki vardır, bu nedenle bir on altılık basamağın dört ikili basamağa eşit bir değeri vardır.

Bu ilişki nedeniyle, ikili bir sayıdaki dört basamak, tek bir onaltılık basamakla temsil edilebilir. Bu, ikili ve on altılık sayılar arasında dönüştürmeyi çok kolaylaştırır ve on altılık, çok daha az basamaklı büyük ikili sayıları yazmak için kullanılabilir.

Ondalık sayı4-bit İkili SayıOnaltılık Sayı
000000
100011
200102
300113
401004
501015
601106
701117
810008
910019
101010A
111011B
121100C
131101NS
141110E
151111F
160001 000010 (1+0)
170001 000111 (1+1)
On Altılı Sayılar

Yukarıdaki 1101 0101 1100 1111 2’deki orijinal ikili sayı kullanılarak bu, daha önce sahip olduğumuz uzun 1’ler ve 0’lar satırından çok daha kolay okunması ve anlaşılması daha kolay olan eşdeğer bir onaltılık D5CF sayısına dönüştürülebilir   .

Bu nedenle, onaltılık gösterim kullanılarak, dijital sayılar daha az basamak kullanılarak ve çok daha az bir hata meydana gelme olasılığı ile yazılabilir. Benzer şekilde, onaltılık tabanlı sayıları tekrar ikili sayıya dönüştürmek, işlemin tersidir.

O zaman bir On altılık sayı sisteminin ana özelliği, 0’dan F’ye kadar 16 farklı sayma basamağının olması ve her bir basamağın en az anlamlı bitten (LSB) başlayarak 16’lık bir ağırlığa veya değere sahip olmasıdır. Onaltılık sayıları, onluk sayılarından ayırt etmek için, gerçek on altılı sayı değerinden önce bir “#” , (Hash) veya “$” (Dolar işareti) öneki kullanılır , #D5CF veya $D5CF .

On altılık bir sistemin tabanı, sistemde kullanılan bireysel sembollerin sayısını da temsil eden 16 olduğundan , alt simge 16 dır, onaltılık olarak ifade edilen bir sayıyı tanımlamak için kullanılır. Örneğin, önceki onaltılık sayı şu şekilde ifade edilir: D5CF16

MSBOnaltılık SayıLSB
168167166165164163162161160
4.3G2.6G16 milyon1 milyon65k4k256161
On altılık Sayının Temsili

Hem ondalık hem de ikili sayıları on altılık sayıya dönüştürmek için bu ek on altılık basamakların eklenmesi, dönüştürülecek 4, 8, 12 veya 16 ikili basamak varsa çok kolaydır. Ancak , ikili bit sayısı dördün katı değilse , en anlamlı bitin, MSB’nin soluna sıfırları da ekleyebiliriz .

Örneğin, 11001011011001 2 , yalnızca üç onaltılık basamak için çok büyük, ancak dört onaltılık bir sayı için çok küçük olan on dört bitlik bir ikili sayıdır. Cevap, tam bir dört bitlik ikili sayı veya bunların katları olana kadar en sola sıfır eklemektir.

İkili Sayılara 0 Eklemek

İkili numara0011001011011001
Onaltılık Sayı32NS9

On altılı sayının ana avantajı , çok kompakt olmasıdır ve 16 tabanının kullanılması, belirli bir sayıyı temsil etmek için kullanılan basamak sayısının genellikle ikili veya ondalık sayıya göre daha az olduğu anlamına gelir. Ayrıca, on altılık sayılar ve ikili sayılar arasında dönüştürme yapmak hızlı ve kolaydır.

On altılı Sayı Sitemi Soru Örneği 1

İkili sayı 1110 10102‘yi on altılık sayı eşdeğerine dönüştürün.

Sayı = 11101010 2
 Bitleri sağ taraftan başlayarak dörde bölün
  = 1110 1010 
 Her bir grubun Ondalık eşdeğerini bulun
  = 14 10(ondalık olarak)
 Yukarıdaki tabloyu kullanarak On altılıya dönüştürün
  = E A(Onaltılı olarak)
 Ardından, ikili sayının on altılık eşdeğeri 1110 10102 ,  #EA16‘dır

On altılı Sayı Sitemi Soru Örneği 2

On altılık sayı #3FA716‘yı ikili eşdeğerine ve ayrıca her bir numaralandırma sistemini tanımlamak için alt simgeleri kullanarak ondalık eşdeğerine dönüştürün.

  #3FA716
 =  0011 1111 1010 01112
 =  (8192 + 4096 + 2048 + 1024 + 512 + 256 + 128 + 32 + 4 + 2 + 1)
 =  16.29510

Ardından, 16.295’lik ondalık sayı şu şekilde temsil edilebilir:

#3FA716 on altılık düzende ve

0011 1111 1010 0111 2    ikili düzende.

Özetle

On altılık veya Hex , numaralandırma sistemi yaygın kolayca anlamak bizim için dört basamaklı bir kümeler halinde ikili sayıların büyük dizeleri azaltmak için bilgisayar ve dijital sistemlerde kullanılır. “On altılık” kelimesi on altı anlamına gelir, çünkü bu tür dijital numaralandırma sistemi 0’dan 9’a ve A’dan F’ye 16 farklı rakam kullanır.

Onaltılı sayılar, ikili sayıları dört basamaklı kümeler halinde gruplandırır. İkili bir diziyi eşdeğer bir onaltılık sayıya dönüştürmek için , önce ikili basamakları 4 bitlik bir dizi halinde gruplamalıyız. Bu ikili kümeler, 0 ila F’nin on altılık eşdeğerini temsil eden 010  ( 00002 ) ila 1510 ( 11112 ) arasında herhangi bir değere sahip olabilir .

Sayı sistemleri ile ilgili bir sonraki öğreticide, ikili sayı dizilerinin tamamını Sekizli Sayılar(Octal Numbers) adı verilen başka bir dijital numaralandırma sistemine veya tam tersine dönüştürmeye bakacağız.