İkili Ondalık Dönüşüm

Sayı Sistemleri Serisi
İkili Sayı Sistemi	İşaretli İkili Sayılar/Signed Binary Numbers	İkili Kesirler/Binary Fractions
İkili – Onluk Dönüşümü	İkili Kodlanmış Onluk Sayılar/BCD
On Altılı Sayı Sistemi	Sekizli Sayı Sistemi

İkili ondalık dönüşümü onluk sistem arasındaki dönüşümler, dijital elektronik ve bilgisayar bilimlerinin temelini oluşturur. Sayının nihai değerini belirlemek ve rakamların sırasını anlamak için, ağırlıklı tabanlar (sütun ağırlıkları) kullanılır.

İkili (binary) bir sayının onluk (decimal) bir sayıya (taban-2’den taban-10’a) veya tam tersine dönüştürülmesi, bilgisayar ve dijital sistemlerin çalışma mantığını anlamak için bilinmesi gereken en önemli kavramlardan biridir. Konu hakkında daha detaylı teorik bilgi için sayı sistemleri sayfasına göz atabilirsiniz.

Ondalık (decimal) sayma sistemi, her bir basamağında 0’dan 9’a kadar olan on olası değerden birini barındırır. Örneğin, günlük hayatımızda kullandığımız 213 sayısının aslında matematiksel karşılığı $213_{10}$ şeklindedir.

Ondalık sayı sistemi sadece 10 temel rakamı (0-9) kullanmakla kalmaz, aynı zamanda toplama ( $+$ ), çıkarma ( $-$ ), çarpma ( $\times$ ) ve bölme ( $\div$ ) gibi temel aritmetik işlemlere de olanak tanır.

Onluk sistemde her basamak, sağındaki basamaktan 10 kat daha büyük bir değere sahiptir. Genel olarak herhangi bir sayı sistemi, sayı içindeki her basamağın ağırlığını belirlemek için bir taban ( $q$ ) ile birlikte bir sembol kümesi ( $b$ ) kullanır.

Herhangi bir sayı sistemi matematiksel olarak şu ilişkiyle özetlenebilir:

$N = \sum b_i \cdot q^i$

Burada:
$N$ : Pozitif bir gerçek sayıdır.
$b$ : İlgili basamaktaki rakamdır (sembol).
$q$ : Sayı sisteminin taban değeridir.
$i$ : Basamağın konumu (pozitif, negatif veya sıfır bir tam sayı olabilir).

Açık formda yazarsak, bu dizi şu şekilde ifade edilir:

$N = b_n q^n + \dots + b_3 q^3 + b_2 q^2 + b_1 q^1 + b_0 q^0 + b_{-1} q^{-1} + b_{-2} q^{-2} + \dots$

Yazı İçeriği

Onluk (Decimal) Sayı Sistemi

Onluk (taban-10) sayı sisteminde, sayının tam kısmı üzerinde sağdan sola doğru hareket ettikçe her bir sütun sırasıyla birler, onlar, yüzler, binler vb. basamak değerlerini alır. Matematiksel olarak bu değerler $10^0, 10^1, 10^2, 10^3$ şeklinde yazılır. Virgülün (veya noktanın) solundaki her konum, 10’un artan pozitif kuvvetini gösterir.

Aynı şekilde, ondalıklı (kesirli) kısımlar için sayının ağırlığı soldan sağa doğru azalarak negatif kuvvetler alır. Yani basamak değerleri $10^{-1}, 10^{-2}, 10^{-3}$ vb. şeklinde küçülür.

Bu sebeple onluk sayı sisteminin tabanının 10 olduğunu görürüz (Bazen modulo-10 veya MOD-10 olarak da adlandırılır). Sistemdeki her basamağın konumu, büyüklüğünü veya ağırlığını ifade eden $q=10$ kuvvetine eşittir.

Herhangi bir onluk sayının değeri, basamaklarındaki rakamların kendi sütun ağırlıklarıyla çarpılıp toplanmasına eşittir. Örneğin, $N = 6163_{10}$ (Altı bin yüz altmış üç) sayısı matematiksel olarak şu şekilde ayrıştırılır:

$6000 + 100 + 60 + 3 = 6163$

Bunu basamak ağırlıklarıyla açıkça gösterirsek:

$(6 \times 1000) + (1 \times 100) + (6 \times 10) + (3 \times 1) = 6163$

Polinom (kuvvet) biçiminde yazılışı ise şu şekildedir:

$(6 \times 10^3) + (1 \times 10^2) + (6 \times 10^1) + (3 \times 10^0) = 6163$

Bu örnekte en soldaki basamak en fazla ağırlığa sahip olduğu için En Anlamlı Basamak (MSD – Most Significant Digit), en sağdaki basamak ise en az ağırlığa sahip olduğu için En Az Anlamlı Basamak (LSD – Least Significant Digit) olarak adlandırılır. Yani $6$ rakamı MSD, $3$ rakamı ise LSD’dir.

İkili Ondalık (Binary) Sayı Sistemi

İkili (binary) sayı sistemi, dijital elektronik devrelerin ve bilgisayar sistemlerinin temelini oluşturan numaralandırma sistemidir. Kuralları onluk sayı sistemi ile temelde aynıdır; ancak 10’un kuvvetlerini kullanmak yerine, ikinin ( $2$ ) kuvvetleri üzerinde çalışır.

Dijital mantık kapıları ve bilgisayarlar, bir durumu temsil etmek için sadece iki değer veya voltaj seviyesi kullanırlar: Bir mantık seviyesi “1” (Yüksek/High) veya mantık seviyesi “0” (Düşük/Low). Bu “0” ve “1” değerlerinin her birine dijital sistemlerde tek bir “bit” (binary digit) adı verilir.

İkili sayı sisteminde, $101100101$ gibi bir sayı yalnızca “1”ler ve “0”ların yan yana dizilmesiyle oluşturulur. Bu dizide sağdan sola doğru her basamağın ağırlığı bir öncekinin iki katıdır. Bir ikili basamak sadece “0” veya “1” değerini alabildiğinden, taban değeri $q = 2$ ‘dir.

İkili sayılarda, en sağdaki en düşük ağırlıklı bite En Az Anlamlı Bit (LSB – Least Significant Bit), en soldaki en yüksek ağırlıklı bite ise En Anlamlı Bit (MSB – Most Significant Bit) adı verilir.

Onluk sayı sisteminde sağdan sola her basamağın ağırlığı 10 kat artarken, ikili sayı sisteminde her basamağın ağırlığı 2 kat artar.

İkili Sayıyı Onluk Sayıya Dönüştürme

Bir ikili (binary) sayıyı onluk (decimal) sayıya dönüştürmek için her bitin ağırlık değeri hesaplanır.

2’nin Kuvveti	$2^8$	$2^7$	$2^6$	$2^5$	$2^4$	$2^3$	$2^2$	$2^1$	$2^0$
Onluk Basamak Ağırlığı	256	128	64	32	16	8	4	2	1
İkili Rakam (Bit)	1	0	1	1	0	0	1	0	1

Tabloda “1” ile temsil edilen konumlardaki onluk ağırlık değerlerini topladığımızda sayının onluk sistemdeki değerini buluruz:

$256 + 64 + 32 + 4 + 1 = 357_{10}$

Böylece $101100101_2$ ikili sayısının, onluk sistemde $357_{10}$ sayısına eşit olduğunu görebiliriz.

Not: Sayı sistemlerinde karışıklığı önlemek için genellikle taban değeri alt simge (indis) olarak eklenir. Örneğin $1001_2 = 9_{10}$ . Eğer hiçbir alt simge yoksa, sayının onluk (decimal) olduğu varsayılır.

İkiye Bölme Yöntemi (Onluktan İkiliye Dönüşüm)

Ondalık (onluk) bir sayıyı ikili (binary) bir sayıya dönüştürmenin en yaygın ve basit yolu “Sürekli 2’ye Bölme” yöntemidir. Bu yöntemde onluk sayı bölüm $0$ olana kadar sürekli olarak 2’ye bölünür. Kalanlar sırasıyla kaydedilir.

Örnek olarak $294_{10}$ onluk sayısını ikili eşdeğerine dönüştürelim:

İşlem	Bölüm	Kalan	Notlar
$294 \div 2$	147	0 (LSB)	Sayı çift olduğu için kalan 0’dır. Bu ilk kalan LSB (En Az Anlamlı Bit) olur.
$147 \div 2$	73	1	Sayı tek olduğu için kalan 1’dir.
$73 \div 2$	36	1
$36 \div 2$	18	0
$18 \div 2$	9	0
$9 \div 2$	4	1
$4 \div 2$	2	0
$2 \div 2$	1	0
$1 \div 2$	0	1 (MSB)	Son bölüm 0 olduğunda işlem biter. Bu son kalan MSB (En Anlamlı Bit) olur.

Bu kalanları aşağıdan yukarıya doğru (MSB’den LSB’ye) okuduğumuzda, $294_{10}$ onluk sayısının ikili karşılığının $100100110_2$ olduğunu buluruz. Bu “sürekli bölme” yöntemi diğer sayı tabanlarına dönüşüm için de aynı mantıkla çalışır (Örneğin onaltılık sisteme çevirmek için 16’ya bölünür).

İkili Sayı Sistemi Birimleri ve Ön Ekleri

İkili sayılar, tıpkı onluk sayılar gibi toplanabilir, çıkarılabilir veya çarpılabilir. Veri yığınları, kullanılan bit sayısına göre belirli isimlerle gruplandırılır. Temelde bir bit tek bir ikili basamağı, bir bayt (byte) sekiz biti, bir sözcük (word) ise 16 biti temsil eder.

Bireysel bitlerin daha büyük gruplar halinde sınıflandırılması genellikle şu isimlerle anılır:

İkili Basamak Sayısı (Bit)	Yaygın İsim
1	Bit
4	Nibble
8	Bayt (Byte)
16	Sözcük (Word)
32	Çift Sözcük (Double Word)
64	Dörtlü Sözcük (Quad Word)

Mikrodenetleyici ve mikroişlemci sistemleri geliştikçe, işledikleri veri miktarları da büyümüştür. Bugün bellek boyutları veya depolama kapasiteleri genellikle bayt tabanlı büyük ön eklerle ifade edilir (Megabayt, Gigabayt vb.).

Bayt Sayısı	Birim Adı ve Kısaltması
$1.024$ ( $2^{10}$ )	Kilobayt (KB)
$1.048.576$ ( $2^{20}$ )	Megabayt (MB)
$1.073.741.824$ ( $2^{30}$ )	Gigabayt (GB)
$1.099.511.627.776$ ( $2^{40}$ )	Terabayt (TB)

Özetle

“BIT” kelimesi, İngilizce “Binary Digit“ kelimelerinin birleşimiyle oluşturulmuştur.
İkili (binary) sistemin sadece iki durumu vardır: Mantık “0” ve Mantık “1”. Bu yüzden tabanı 2’dir.
Onluk (decimal) sistem 0’dan 9’a kadar 10 farklı rakam kullanır ve tabanı 10’dur.
İkili sayılarda, sağdan sola doğru gidildikçe her bir basamağın (bitin) ağırlığı iki katına çıkar.
İkili bir sayı, basamak ağırlıklarının toplanması yöntemiyle onluk sayıya dönüştürülebilir.
Onluk bir sayı ise “sürekli 2’ye bölme” yöntemi kullanılarak ikili sayıya dönüştürülür.
Hataları önlemek için sayı sistemleri arası dönüşümlerde taban değeri sayının sağ altına indis olarak yazılır (örn. $101_2$ veya $5_{10}$ ).

Özetle, taban-2’den taban-10’a veya taban-10’dan taban-2’ye dönüşümler bu temel matematiksel kurallara dayanır. Çeviri yaparken LSB (En Az Anlamlı Bit) ve MSB (En Anlamlı Bit) kavramlarının yerlerini karıştırmamak son derece önemlidir.

Sayı sistemleri serisinin bir sonraki bölümünde, ikili sayıların daha pratik bir şekilde ifade edilmesini sağlayan Onaltılık (Hexadecimal) Sayı Sistemini inceleyeceğiz.

Sayı Sistemleri Serisi
İkili Sayı Sistemi	İşaretli İkili Sayılar/Signed Binary Numbers	İkili Kesirler/Binary Fractions
İkili – Onluk Dönüşümü	İkili Kodlanmış Onluk Sayılar/BCD
On Altılı Sayı Sistemi	Sekizli Sayı Sistemi

Yorum yapma özelliği, forum tarafından gelen istek sebebiyle kapatılmıştır. Lütfen tartışmalar ve sorularınız için topluluk forumumuza katılın.

Onluk (Decimal) Sayı Sistemi

İkili Ondalık (Binary) Sayı Sistemi

İkili Sayıyı Onluk Sayıya Dönüştürme

İkiye Bölme Yöntemi (Onluktan İkiliye Dönüşüm)

İkili Sayı Sistemi Birimleri ve Ön Ekleri

Özetle

İlgili Yazılar

BCD Sayıcı Devresi / BCD Counter Circuit

Diyaklara Giriş

Ortalama Değer

VHDL ile 8 Bit CPU Tasarlamak

Dijital Karşılaştırıcı / Digital Comparator