İkili Ondalık Dönüşüm

İkili ondalık dönüşüm, sayının son değerini belirlemek ve rakamların sırasını belirlemek için ağırlıklı tabanlar diğer adıyla sütunlar kullanır.

İkili sayının ondalık sayıya (taban-2’den taban-10’a) ve geri dönüşümü, ikili numaralandırma sistemi tüm bilgisayar ve dijital sistemlerin temelini oluşturduğundan bilinmesi gereken önemli bir kavramdır.

Ondalık veya “decimal” sayma sistemi bir dizi içinde her bir basamağı ile ilgili, “basamak” olarak adlandırılan, on muhtemel değerden birini alır, örneğin günlük hayatımızda kullandığımız 213 sayısının aslında karşılığı 213 10 dur.

Ancak ondalık sayı sistemi 10 basamaklı (0’dan 9’a kadar) yazmanın yanı sıra toplama ( + ), çıkarma ( – ), çarpma ( × ) ve bölme ( ÷ ) işlemlerine de sahiptir.

Bir ondalık sistemde her basamak, bir önceki sayıdan on kat daha büyük bir değere sahiptir ve bu ondalık sayı sistemi, bir sayı içindeki her basamağın ağırlığını belirlemek için bir taban, q ile birlikte bir dizi sembol ( b) kullanır.

Herhangi bir numaralandırma sistemi aşağıdaki ilişki ile özetlenebilir:

 N = bi qi

Burada: N gerçek bir pozitif sayıdır
b basamağı
q taban değeridir
( i ) tamsayı pozitif, negatif veya sıfır olabilir

N = bn qn… b3 q3 + b2 q2 + b1 q1 + b0 q0 + b-1 q-1 + b-2 q-2 gibi.

Onluk Sayı Sistemi

Ondalık, taban-10 veya decimal numaralandırma sisteminde, sayı boyunca sağdan sola doğru hareket ettikçe her tam sayı sütununda birim, onluk, yüz, bin vb. değerler bulunur. Matematiksel olarak bu değerler 10 0 , 10 1 , 10 2 , 10 3 vb. şeklinde yazılır . Daha sonra ondalık virgülün solundaki her bir konum 10’un artan pozitif gücünü gösterir. Aynı şekilde, kesirli sayılar için sayının ağırlığı daha negatif olur. Soldan sağa doğru hareket ettikçe 10 -1 , 10 -2 , 10 -3 vb değerde küçülme yaşanır.

Böylece, “ondalık sayı sisteminin” 10 veya modulo-10 (bazen MOD-10 olarak adlandırılır) tabanına sahip olduğunu görebiliriz ve ondalık sistemdeki her basamağın konumu, q eşittir o basamağın büyüklüğünü veya ağırlığını gösterir.

Herhangi bir ondalık sayının değeri, ilgili ağırlıklarıyla çarpılan basamaklarının toplamına eşit olacaktır. Örneğin:   N = 6163 10  (Altı Bin Yüz Altmış Üç), ondalık biçimde şuna eşittir:

6000 + 100 + 60 + 3 =  6163

veya her basamağın ağırlığını şu şekilde yansıtarak yazılabilir:

( 6×1000 ) + ( 1×100 ) + ( 6×10 ) + ( 3×1 ) =  6163

veya polinom biçiminde şu şekilde yazılabilir:

( 6×10 3 ) + ( 1×10 2 ) + ( 6×10 1 ) + ( 3×10 0 ) =  6163

Bu ondalık numaralandırma sistemi örneğinde, en soldaki basamak en anlamlı basamak veya MSD ve en sağdaki basamak en az anlamlı basamak veya LSD olduğunda. Başka bir deyişle, en soldaki konumu en fazla ağırlığı taşıdığı için 6 rakamı MSD’dir ve en sağdaki konumu en az ağırlığı taşıdığı için 3 sayısı LSD’dir.

İkili Sayı Sistemi

İkili sayı sistemi tüm dijital ve bilgisayar tabanlı sistemlerin en temel numaralama sistemidir ve ikili sayılar ondalık numaralama sistemi olarak kuralları aynıdır. Ancak, on’un kuvvetlerini kullanan ondalık sistemin aksine, ikili numaralandırma sistemi, ikinin kuvvetleri üzerinde çalışır ve taban-2’den taban-10’a ikiliden ondalığa dönüşüm verir.

Dijital mantık ve bilgisayar sistemleri, bir koşulu temsil etmek için yalnızca iki değer veya durum kullanır, bir mantık düzeyi “1” veya bir mantık düzeyi “0” ve her bir “0” ve “1”, bir Temelde tek bir basamak olarak kabul edilir.

İkili sayı sisteminde, 101100101 gibi bir ikili sayı, ” 1’ler ” ve ” 0’lar ” dizisi ile ifade edilir ve dizi boyunca sağdan sola her bir basamak bir önceki basamağın iki katı değere sahiptir. Ancak ikili bir rakam olduğu için yalnızca “1” veya “0” değerine sahip olabilir, bu nedenle q , konumu dize içindeki ağırlığını gösteren “2”ye (0 veya 1) eşittir.

Ondalık sayı ağırlıklı bir sayı olduğundan, ondalıktan ikili sayıya (taban 10’dan taban 2’ye) dönüştürmek, aynı zamanda en sağdaki bitin En Az Önemli Bit veya LSB olduğu ve soldaki en bitin olduğu ağırlıklı bir ikili sayı üretecektir. En Önemli Bit veya MSB ve bu şekilde temsil edilir:

ikili ondalık dönüşüm
İkili Sayının Temsili

Yukarıda gördük ki ondalık sayı sisteminde sağdan sola her basamağın ağırlığı 10 kat artar. İkili sayı sisteminde gösterildiği gibi her basamağın ağırlığı 2 kat artar.

Örneğin, bir İkiliyi Ondalık sayıya dönüştürmek istersek şöyle olur:

Ondalık Basamak Değeri2561286432168421
İkili Rakam Değeri101100101

“ 1 ” ile temsil edilen konumlarda sağdan sola TÜM ondalık sayı değerlerini bir araya getirirsek bize şu değeri verir: (256) + (64) + (32) + (4) + (1) =  357 10 .

Daha sonra, 101100101 2 ikili basamak dizisinin ondalık eşdeğerini bularak ve ikili basamakları , ondalık veya decilmal cinsinden 357 10 eşdeğeri veren 2 tabanlı bir diziye genişleterek ikiliyi ondalık sayıya dönüştürebiliriz.

Sayı dönüştürme sistemlerinde, ilgili temel numaralandırma sistemini, 1001 2  = 9 10 belirtmek için “taban” kullanıldığını unutmayın . Bir sayıdan sonra alt simge kullanılmıyorsa, genellikle ondalık olduğu varsayılır.

İkiye Bölme Yöntemi

Yukarıda ikili sayıları ondalık sayılara nasıl çevireceğimizi gördük, ancak ondalık bir sayıyı ikili sayıya nasıl çevirebiliriz? Ondalık sayıyı ikili sayı eşdeğerlerine dönüştürmenin kolay bir yöntemi, ondalık sayıyı yazmak ve sürekli olarak 2’ye (iki) bölerek bir sonuç ve nihai sonuca kadar “1” veya “0”dan kalanını verene kadar devam ettirmektir.

Yani mesela. 294 10 ondalık sayısını ikili sayı eşdeğerine dönüştürelim:

Say=294 Her ondalık sayıyı gösterildiği gibi “2”ye bölmek bir sonuç artı kalan verir. Bölünen ondalık sayı çift ise sonuç tam olur ve kalan “0”a eşit olur. Ondalık sayı tek ise sonuç tam olarak bölünmez ve kalan “1” olur. İkili sonuç, en az anlamlı bit (LSB) üstte ve en anlamlı bit (MSB) altta olacak şekilde tüm kalanların sıralanmasıyla elde edilir.
2’ye böl
sonuç147kalan0   (LSB)
2’ye böl
sonuç73kalan1
2’ye böl
sonuç36kalan1
2’ye böl
sonuç18kalan0
2’ye böl
sonuç9kalan0
2’ye böl
sonuç4kalan1
2’ye böl
sonuç2kalan0
2’ye böl
sonuç1kalan0
2’ye böl
sonuç0kalan1   (MSB)

Bu 2’ye bölme ondalıktan ikiliye dönüştürme tekniği, 294 10 ondalık sayıya , sağdan sola okunarak ikili olarak 1001001102 eşdeğeri verir. Bu 2’ye bölme yöntemi, diğer sayı tabanlarına dönüşüm için de çalışacaktır.

Daha sonra, bir ikili sayı sisteminin temel özelliklerinin, her bir “ikili basamak” veya “bit”in, her bitin bir önceki bitin iki katı ağırlığa veya değere sahip olmasıyla birlikte “1” veya “0” değerine sahip olması olduğunu görebiliriz. En düşük veya en az anlamlı bitten (LSB) başlayarak buna “ağırlıkların toplamı” yöntemi denir.

Böylece, ağırlıkların toplamı yöntemini kullanarak veya tekrarlanan 2’ye bölme yöntemini kullanarak bir ondalık sayıyı ikili sayıya dönüştürebilir ve ağırlıkların toplamını bularak ikiliyi ondalık sayıya dönüştürebiliriz.

İkili Sayı Sistemi ve Ön ekleri

İkili sayılar, tıpkı ondalık sayılar gibi birlikte toplanabilir ve çıkarılabilir; sonuç, kullanılan bit sayısına bağlı olarak birkaç boyut aralığından birinde birleştirilir. İkili sayılar üç temel biçimde gelir – bir bit, bir bayt ve bir word, burada bit tek bir ikili basamak, bir bayt sekiz ikili basamak ve bir sözcük 16 ikili basamaktır.

Bireysel bitlerin daha büyük gruplar halinde sınıflandırılması genellikle aşağıdaki daha yaygın isimlerle anılır:

İkili Basamak Sayısı (bit)Yaygın isim
1Bit
4Nibble
8Bayt
16Word
32Double Word
64Quad Word

İkili sayıyı ondalık sayılara dönüştürürken bu sorunun üstesinden gelmenin ve kullanılan rakamların veya sayıların ondalık mı yoksa ikili sayı mı olduğunu belirlemenin bir yolu, sayı sisteminin tabanını göstermek için son rakamdan sonra “taban” adı verilen küçük bir sayı yazmaktır.

Örneğin, eğer bir ikili sayı dizisi kullanıyor olsaydık, taban-2 sayısını belirtmek için “2” alt simgesini eklerdik, böylece sayı 102 olarak yazılırdı. Benzer şekilde, standart bir ondalık sayı olsaydı, 10 tabanlı bir sayıyı belirtmek için “10” alt simgesini eklerdik, böylece sayı 1010 olarak yazılırdı.

Mikrokontrolcü ya da mikroişlemci sistemleri giderek daha büyük hale gelmiştir. İlgili ikili rakama (bit) yerine artık sayıları oluşturmak üzere 8’ın grupları halinde Bayt(byte) yaygın olarak boyut göstermektedir, örneğin sabit disk ve bellek modülleri için kullanılan çoğu bilgisayar donanımı; megabayt veya gigabayt gibi kavramlarla boyut temsil edilir.

Bayt SayısıYaygın isim
1.024 (2 10 )kilobayt (kb)
1.048.576 (2 20 )Megabayt (Mb)
1.073.741.824 (2 30 )Gigabayt (Gb)
çok uzun bir sayı! (2 40 )Terabayt (Tb)

Özetle

  • “ BIT ”, BI nary digi T’den türetilen kısaltılmış terimdir.
  • Bir Binary sistemin yalnızca iki durumu vardır, Mantık “0” ve Mantık “1”, 2 tabanını verir.
  • Bir Ondalık sistem 10 farklı basamak kullanır, 0’dan 9’a 10’luk bir taban verir.
  • İkili sayı, ağırlıklı değeri sağdan sola doğru artan ağırlıklı bir sayıdır.
  • İkili bir basamağın ağırlığı sağdan sola iki katına çıkar
  • Ondalık sayı, ağırlıkların toplamı yöntemi veya tekrarlanan 2’ye bölme yöntemi kullanılarak ikili sayıya dönüştürülebilir.
  • Sayıları ikiliden ondalığa veya ondalıktan ikiliye dönüştürdüğümüzde, hataları önlemek için indisler kullanılır.

İkili sayıyı ondalık sayıya (taban-2’den taban-10’a) veya ondalık sayıyı ikili sayılara (taban10’dan taban-2’ye) dönüştürmek, yukarıda gösterildiği gibi birkaç farklı yolla yapılabilir. Ondalık sayıları ikili sayılara dönüştürürken, hangisinin en az anlamlı bit ( LSB ) ve hangisinin en anlamlı bit ( MSB ) olduğunu hatırlamak önemlidir .

İkili Mantık ile ilgili bir sonraki derste ikili sayıları Onaltılık Sayılara dönüştürmeyi ve bunun tersini inceleyeceğiz ve ikili sayıların sayılarla olduğu kadar harflerle de temsil edilebileceğini göstereceğiz.