Paralel RLC Devre Analizi

Paralel RLC Devresi, önceki öğreticide baktığımız seri devrenin tam tersidir, ancak önceki kavram ve denklemlerin bazıları hala geçerlidir.

Bununla birlikte, paralel bir RLC devresinin analizi, seri RLC devrelerinden biraz daha matematiksel olarak zor olabilir, bu nedenle paralel RLC devreleri hakkındaki bu öğreticide, işleri basit tutmak için kullanılan devre elemanlarını saf ve ideal varsayacağız.

Bu kez, akım devre bileşenleri için ortak olmak yerine, uygulanan voltaj artık herkes için ortaktır, bu yüzden her bir elemandan ayrı dal akımlarını bulmamız gerekir. Paralel bir RLC devresinin toplam empedansı, Z, bir DC paralel devre için olduğu gibi devrenin akımı kullanılarak hesaplanır, bu sefer fark, empedans yerine admittans kullanılmasıdır.

Admittans (Admittance) = Admittans elektrik mühendisliğinde karmaşık iletkenlik anlamına gelir. Admittans ile empedans çarpımı 1 dir. Admittans Y ile gösterilir. Birimi MKS sisteminde siemens’dir.

Paralel RLC Devresi

paralel rlc devre
Paralel RLC Devresi

Yukarıdaki paralel RLC devresinde, besleme akımı üç parçadan oluşurken, besleme voltajının VS‘nin her üç bileşen için ortak olduğunu görebiliriz. Dirençten akan akım, IR, indüktörden akan akım, IL ve kondansatörden geçen akım, IC.

Ancak her bir daldan akan akım ve dolayısıyla her bir bileşen birbirinden ve aynı zamanda besleme akımından farklı olacaktır. Beslemeden çekilen toplam akım, üç ayrı dal akımının matematiksel toplamı değil, vektör toplamı olacaktır.

Seri RLC devresi gibi, bu devreyi fazör veya vektör yöntemini kullanarak çözebiliriz, ancak bu sefer vektör diyagramı, gerilime göre çizilen üç akım vektörü ile referans olarak gerilime sahip olacaktır. Paralel bir RLC devresi için fazör diyagramı, her bir bileşen için üç ayrı fazörü bir araya getirerek ve akımları vektörel olarak ekleyerek üretilir.

Devredeki voltaj, üç devre elemanının hepsinde ortak olduğundan, bunu, karşılık gelen açılarda buna göre çizilen üç akım vektörü ile referans vektör olarak kullanabiliriz. Elde edilen vektör akımı, vektörlerden ikisi olan IL ve IC‘nin bir araya getirilmesi ve ardından bu toplamın kalan vektör IR‘ye eklenmesiyle elde edilir. V ile IS arasında elde edilen sonuç açısı, aşağıda gösterildiği gibi devrelerin faz açısı olacaktır.

Paralel RLC Devresi için Fazör Şeması

paralel rlc devre

Yukarıdaki sağ taraftaki fazör diyagramından, akım vektörlerinin hipotenüs IS, yatay eksen IR ve dikey eksen IL – IC‘den oluşan dikdörtgen bir üçgen ürettiğini görebiliriz. Bu nedenle, gösterildiği gibi bu bileşenlerin toplam besleme akımını belirleyecek olan x ekseni ve y ekseni boyunca dal akımlarının bireysel büyüklüklerini matematiksel olarak elde etmek için Pisagor teoremini bu akım üçgeni üzerinde kullanabiliriz.

Paralel RLC Devresi için Akım Üçgeni

paralel rlc devre

Devredeki voltaj, üç devre elemanının tümü için ortak olduğundan, her daldan geçen akım, Kirchhoff’un Akım Yasası (KCL) kullanılarak bulunabilir. Kirchhoff’un akım yasasının veya bağlantı yasasının “bir bağlantıya veya düğüme giren toplam akımın, o düğümden ayrılan akıma tam olarak eşit olduğunu” belirttiğini unutmayın. Böylece yukarıdaki “A” düğümüne giren ve çıkan akımlar şu şekilde verilmiştir:

paralel rlc devre

Türevi almak, yukarıdaki denklemi C’ye bölmek ve sonra yeniden düzenlemek bize devre akımı için aşağıdaki ikinci mertebeden denklemi verir. Devrede indüktör ve kondansatör olmak üzere iki reaktif eleman olduğu için ikinci dereceden bir denklem haline gelir.

paralel rlc devre

Bu tip AC devresindeki akım akışına muhalefet, üç bileşenden oluşur: XL XC ve R, bu üç değerin kombinasyonu ile devre empedansı, Z’yi verir. Paralel bir RLC devresinin tüm bileşenlerinde voltajın aynı genliğe ve faza sahip olduğunu yukarıdan biliyoruz. Daha sonra, her bir bileşen üzerindeki empedans, içinden geçen akıma ve her bir eleman üzerindeki gerilime göre matematiksel olarak da tanımlanabilir.

Paralel RLC Devresinin Empedansı

paralel rlc devre

Paralel bir RLC devresi için son denklemin, her bir eleman empedansın karşılığı ( 1/Z ) olduğu için her paralel dal için karmaşık empedanslar ürettiğini fark edebilirsiniz. Empedansın tersi genellikle admittans(admittance), ( Y ) olarak adlandırılır.

Paralel AC devrelerinde, özellikle iki veya daha fazla paralel dal empedansı söz konusu olduğunda, karmaşık dal empedansını çözmek için admittans kullanmak genellikle daha uygundur (matematiğe yardımcı olur). Devrenin toplam admittansı, paralel admittansların eklenmesiyle kolayca bulunabilir. O zaman devrenin toplam empedansı, Z T , gösterildiği gibi 1/Y T Siemens olacaktır.

Paralel RLC Devresinin Admittansı

paralel rlc devre

Şimdi admittans için yaygın olarak kullanılan ölçü birimi, S olarak kısaltılan Siemens’tir (eski birim mho ℧ , ohm’un tersi). Admittanslar paralel dallarda birbirine eklenirken empedanslar seri dallarda toplanır. Ancak empedansın bir karşılığına sahip olabilirsek, empedans R ve X olmak üzere iki bileşenden oluştuğu için bir direnç ve reaktansa da sahip olabiliriz. Daha sonra direncin karşılıklılığına iletkenlik denir ve reaktansın karşılıklılığına susceptance denir.

İletkenlik, Admittans ve Susceptance

İletkenlikadmittans ve susceptance için kullanılan birimlerin hepsi aynıdır yani Siemens ( S ), Ohm veya ohm -1′in karşılığı olarak da düşünülebilir, ancak her eleman için kullanılan sembol farklıdır ve saf bir bileşende bu şu şekilde verilir:

İletkenlik

paralel rlc devre

İletkenlik direncin tersidir, R ve G sembolü ile gösterilir. İletkenlik, AC veya DC bir voltaj uygulandığında bir direncin akımın akmasına izin verme kolaylığı olarak tanımlanır.

Admittans

paralel rlc devre

Admittans, empedansın tersidir, Z ve Y sembolü ile gösterilir. AC devrelerinde admittans, direnç ve reaktanstan oluşan bir devrenin, voltaj ile akım arasındaki faz farkı dikkate alınarak bir voltaj uygulandığında akımın akmasına izin verme kolaylığı olarak tanımlanır.

Paralel devrenin admittansı, fazör akımının fazör voltajına oranıdır ve admittans açısı empedansın negatifine eşittir.Ayrıca, Admittans, susceptance’ın gerçek kısmıdır.

Susceptance

paralel rlc devre

Susceptance, saf bir reaktansın tersidir, X ve B sembolü ile gösterilir. AC devrelerinde susceptance, bir reaktansın (veya bir dizi reaktansın) belirli bir frekanstaki bir voltaj uygulandığında alternatif bir akımın akmasına izin verme kolaylığı olarak tanımlanır.

Susceptance, reaktansın zıt işaretine sahiptir, bu nedenle Kapasitif duyarlılık B C değeri pozitif, (+ve) değerindeyken Endüktif duyarlılık B L değeri negatif, (-ve) değerindedir. Ayrıca Susceptance, admittans’ın sanal kısmıdır.

Bu nedenle, endüktif ve kapasitif susceptance’ı şu şekilde tanımlayabiliriz:

paralel rlc devre

AC serisi devrelerde akım akışına muhalefet empedanstır, iki bileşeni olan Z , direnç R ve reaktans X ve bu iki bileşenden bir empedans üçgeni oluşturabiliriz. Benzer şekilde, paralel bir RLC devresinde, admittans Y’nin ayrıca iki bileşeni vardır, iletkenlik G ve susceptance B. Bu, gösterildiği gibi yatay bir iletkenlik ekseni, G ve dikey bir duyarlılık ekseni olan Jb’ye sahip bir admittans üçgeni oluşturmayı mümkün kılar.

Paralel RLC Devresi için Admittans Üçgeni

paralel rlc devre

Artık bir admittans üçgenimiz olduğuna göre, gösterildiği gibi faz açısının yanı sıra üç tarafın da büyüklüklerini hesaplamak için Pisagor’u kullanabiliriz.

paralel rlc devre

O zaman hem devrenin girişini hem de girişe göre empedansı şu şekilde tanımlayabiliriz:

paralel rlc devre

Güç faktörü açısını kullanmak bu trigonometrik açıları kullanabiliriz:

paralel rlc devre

Paralel bir RLC devresinin Y admittansı karmaşık bir miktar olması nedeniyle, seri devreler için genel empedans Z = R + jX formuna karşılık gelir. Paralel devreler için Y = G – jB olarak yazılacaktır; burada gerçek kısım G iletkenliktir ve hayali kısım JB susceptance’dir. Kutupsal formda bu şu şekilde verilecektir:

paralel rlc devre

Paralel RLC Devre Soru Örneği 1

Bir 1kΩ direnç, bir 142mH bobin ve bir 160uF kapasitör, 240V, 60Hz besleme boyunca paralel olarak bağlanır. Paralel RLC devresinin empedansını ve beslemeden çekilen akımı hesaplayın.

Paralel RLC Devresinin Empedansı

paralel rlc devre

Bir AC devresinde direnç frekanstan etkilenmez, dolayısıyla R = 1kΩ

Endüktif Reaktans, (  X L  ):

paralel rlc devre

Kapasitif Reaktans, (  X C  ):

paralel rlc devre

Empedans, (  Z  ):

paralel rlc devre

Besleme Akımı, (  Is  ):

paralel rlc devre

Paralel RLC Devre Soru Örneği 2

Bir 50Ω direnç, bir 20mH bobin ve bir 5uF kapasitör, 50V, 100Hz besleme boyunca paralel olarak bağlanır. Beslemeden çekilen toplam akımı, her dal için akımı, devrenin toplam empedansını ve faz açısını hesaplayın. Ayrıca devreyi temsil eden akım ve giriş üçgenlerini oluşturun.

Paralel RLC Devresi

paralel rlc devre

1). Endüktif Reaktans, ( X L ):

paralel rlc devre

2). Kapasitif Reaktans, ( X C ):

paralel rlc devre

3). Empedans, ( Z ):

paralel rlc devre

4). Dirençten geçen akım, R ( I R ):

paralel rlc devre

5). İndüktörden geçen akım, L ( I L ):

paralel rlc devre

6). Kondansatörden geçen akım, C ( I C ):

paralel rlc devre

7). Toplam besleme akımı, ( I S ):

paralel rlc devre

8). İletkenlik, ( G ):

paralel rlc devre

9). Endüktif Susceptance, ( B L ):

paralel rlc devre

10). Kapasitif Susceptance, ( B C ):

paralel rlc devre

11). Admittance, ( Y ):

paralel rlc devre

12). Faz Açısı, ( φ ) ortaya çıkan akım ile besleme gerilimi arasındaki fark:

paralel rlc devre

Akım ve Admittance Üçgenleri

paralel rlc devre

Paralel RLC Devre Özeti

Bir direnç, bir indüktör ve bir kondansatör içeren paralel bir RLC devresinde, devre akımı, üç bileşenden oluşan fazör toplamıdır, IR, IL ve IC, her üçü için ortak besleme voltajına sahiptir. Besleme gerilimi her üç bileşen için de ortak olduğundan, bir akım üçgeni oluştururken yatay referans olarak kullanılır.

Paralel RLC ağları, seri RLC devrelerinde olduğu gibi vektör diyagramları kullanılarak analiz edilebilir. Ancak paralel RLC devrelerinin analizi, iki veya daha fazla akım dalı içerdiğinde seri RLC devrelerine göre matematiksel olarak biraz daha zordur. Bu nedenle, bir AC paralel devresi, Admittans adı verilen empedansın tersi kullanılarak kolayca analiz edilebilir.

Admittans, Y sembolü verilen empedansın tersidir. Empedans gibi, bir reel kısım ve bir sanal kısımdan oluşan karmaşık bir niceliktir. Gerçek kısım direncin tersidir ve iletkenlik olarak adlandırılır Y sembolü ile temsil edilir, hayali kısım ise reaktansın tersidir ve susceptance’dır, B sembolü ile temsil edilir ve karmaşık biçimde şu şekilde ifade edilir: Y = G + jB   iki kompleks arasındaki dualite ile empedans şu şekilde tanımlanır:

Seri devreParalel devre
Gerilim, (V)Akım, (I)
Direnç, (R)İletkenlik, (G)
Reaktans, (X)Susceptance, (B)
Empedans, (Z)Admittans, (Y)

Gerilim reaktansın tersi olduğundan, bir endüktif devrede, endüktif duyarlılıkta B L değeri negatif, kapasitif devrede kapasitif duyarlılık, B C değeri pozitif olacaktır. Sırasıyla X L ve X C‘nin tam tersi.

Şimdiye kadar seri ve paralel RLC devrelerinin aynı devre içinde hem kapasitif hem de endüktif reaktans içerdiğini gördük. Frekansı bu devreler arasında değiştirirsek, kapasitif reaktans değerinin endüktif reaktansın değerine eşit olduğu ve dolayısıyla X C = X L olduğu bir nokta olmalıdır.

Bunun meydana geldiği frekans noktasına rezonans denir ve bir sonraki derste seri rezonansa ve varlığının devrenin özelliklerini nasıl değiştirdiğine bakacağız.