Seri RLC Devre Analizi

Seri RLC devreleri, alternatif bir besleme boyunca seri olarak bağlanmış bir direnç, bir kapasitans ve bir indüktör(bobin)den oluşur.

Şimdiye kadar, üç temel pasif bileşeninin: Direnç , İndüktör ve Kapasitans, sinüzoidal bir alternatif kaynağa bağlandığında birbirleriyle çok farklı faz ilişkilerine sahip olduğunu gördük.

Saf bir omik dirençte voltaj dalga biçimleri akımla “aynı fazdadır”. Saf bir endüktansta, gerilim dalga biçimi akımı 90 o “ilerlendirir” ve bize şu ifadeyi verir: ELI. Saf bir kapasitansta voltaj dalga biçimi, akımı 90 o “geride bırakır” ve bize şu ifadeyi verir: ICE.

Bu Faz Farkı, Φ, kullanılan bileşenlerin reaktif değerine bağlıdır. Reaktansın, ( X ) devre elemanı dirençli ise sıfır, devre elemanı endüktif ise pozitif ve kapasitif ise negatif olduğunu biliyoruz. Ortaya çıkan empedanslarını şu şekilde verebiliriz:

Devre Elemanlarının Empedansı

seri rlc devre

Her pasif elemanı ayrı ayrı analiz etmek yerine, üçünü de bir seri RLC devresinde birleştirebiliriz. Bir seri RLC devresinin analizi, daha önce baktığımız çift seri RL ve RC devreleri ile aynıdır, ancak bu sefer genel devre reaktansını bulmak için hem XL hem de Xc‘nin büyüklüklerini hesaba katmamız gerekir. Seri RLC devreleri, iki enerji depolama elemanı, bir endüktans L ve bir kapasitans C içerdikleri için ikinci dereceden devreler olarak sınıflandırılır.

Seri RLC Devresi

seri rlc devre

Yukarıdaki seri RLC devresi, döngüden akan anlık akımın her devre elemanı için aynı olduğu tek bir döngüye sahiptir. Endüktif ve kapasitif reaktansın XL ve XC‘si besleme frekansının bir fonksiyonu olduğundan, bir seri RLC devresinin sinüzoidal tepkisi bu nedenle frekansa göre değişecektir. Daha sonra, R, L ve C elemanlarının her bir devre elemanı boyunca tek tek voltaj düşüşleri, tanımlandığı gibi birbirleriyle “faz dışı” olacaktır:

  • (t) = I maks sin(ωt)
  •   Saf bir direnç üzerindeki anlık voltaj, VR , akım ile “faz içi”dir.
  •   Saf bir indüktördeki anlık voltaj, VL akımı 90o “ilerletir”
  •   Saf bir kapasitördeki anlık voltaj, VC akımı 90o “geride bırakır”
  •   Bu nedenle, V L ve V C 180o “faz dışı” ve birbirlerine zıttır.

Yukarıdaki seri RLC devresi için bu şu şekilde gösterilebilir:

seri rlc devre

Bir seri RLC devresindeki üç bileşenin tamamındaki kaynak voltajının genliği, üç ayrı bileşen voltajından, V R , V L ve V C‘den oluşur ve akım üç bileşen için ortaktır. Bu nedenle vektör diyagramları, aşağıda gösterildiği gibi bu referansa göre çizilen üç voltaj vektörü ile referans olarak akım vektörüne sahip olacaktır.

Bireysel Gerilim Vektörleri

seri rlc devre

Bu, üç voltaj vektörünün de akım vektörüne göre farklı yönlere işaret ettiği için, besleme voltajını bulmak için VR, VL ve VC‘yi bir araya getiremeyeceğimiz anlamına gelir. Bu nedenle, besleme voltajını, vektörel olarak bir araya getirilen üç bileşen voltajının Fazör Toplamı olarak bulmalıyız.

Kirchhoff’un hem döngü hem de düğüm devreleri için voltaj yasası ( KVL), herhangi bir kapalı döngü etrafında, döngü etrafındaki voltaj düşüşlerinin toplamının emf’lerin toplamına eşit olduğunu belirtir. Daha sonra bu yasayı bu üç gerilime uygulamak bize kaynak voltajının genliğini verecektir.

Seri RLC Devresi için Anlık Gerilimler

seri rlc devre

Bir seri RLC devresi için fazör diyagramı, yukarıdaki üç ayrı fazörün bir araya getirilmesi ve bu voltajların vektörel olarak eklenmesiyle üretilir. Devreden akan akım, üç devre elemanının tümü için ortak olduğu için, buna karşılık gelen açılarda buna göre çizilmiş üç voltaj vektörü ile bunu referans vektörü olarak kullanabiliriz.

Elde edilen vektör VS, vektörlerden ikisini, VL ve VC‘yi bir araya getirerek ve ardından bu toplamı kalan vektör VR‘ye ekleyerek elde edilir. VS ile I arasında elde edilen sonuç açısı, aşağıda gösterildiği gibi devrelerin faz açısı olacaktır.

Seri RLC Devresi için Fazör Şeması

seri rlc devre

Yukarıdaki sağ taraftaki fazör diyagramından voltaj vektörlerinin hipotenüs V S , yatay eksen V R ve dikey eksen V L  – V C‘den bir üçgen oluşturduğunu görebiliriz. VS değerini matematiksel olarak elde etmek için bu voltaj üçgeninde Pisagor teoremini kullanabiliriz.

Seri RLC Devresi için Gerilim Üçgeni

seri rlc devre

Yukarıdaki denklemi kullanırken, son reaktif voltajın her zaman pozitif olması gerektiğini, yani en küçük voltajın her zaman en büyük voltajdan alınması gerektiğini lütfen unutmayın. VR‘ye negatif bir voltaj eklenemez, bu nedenle VL – VC‘ye sahip olmak doğrudur veya VC – VL. En büyüğünden en küçük değer çıkarılmalıdır, aksi takdirde VS‘nin hesaplanması yanlış olacaktır.

Yukarıdan, bir seri RLC devresinin tüm bileşenlerinde akımın aynı genliğe ve faza sahip olduğunu biliyoruz. Daha sonra, her bir bileşen boyunca voltaj, içinden akan akıma ve her bir eleman boyunca voltaja göre matematiksel olarak da tanımlanabilir.

seri rlc devre

Gerilim üçgeni için yukarıdaki Pisagor denkleminde bu değerleri yerine koyarak bize şunu verecektir:

seri rlc devre

Böylece kaynak voltajın genliğinin devreden geçen akımın genliği ile orantılı olduğunu görebiliriz. Bu orantı sabiti, sonuçta dirence ve endüktif ve kapasitif reaktansa bağlı olan devrenin empedansı olarak adlandırılır.

Daha sonra, yukarıdaki seri RLC devresinde, akım akışına karşı gelmenin, XL , XC ve R olmak üzere üç bileşenden oluştuğu ve reaktansla, XT‘nin aşağıdaki gibi tanımlandığı görülebilir : XT  = XL  – XC  veya   XT  = XC  – XL   hangisi daha büyükse. Böylece devrenin toplam empedansı, içinden bir akım geçirmek için gereken voltaj kaynağı olarak düşünülür.

Seri RLC Devresinin Empedansı

Üç vektör gerilimi birbiriyle faz dışı olduğundan, XL, XC ve R, bu üç bileşenin vektör toplamı olan R, XL ve XC arasındaki ilişki ile birbirleriyle “faz dışı” olmalıdır. Bu bize RLC devrelerinin genel empedansını verecektir. Bu devre empedansları aşağıda gösterildiği gibi bir Empedans Üçgeni ile çizilebilir ve temsil edilebilir.

Seri RLC Devresi için Empedans Üçgeni

seri rlc devre

Bir seri RLC devresinin empedansı Z, XL ve XC gibi açısal frekansa bağlıdır, Eğer kapasitif reaktans endüktif reaktanstan büyükse, XC > XL, o zaman genel devre reaktansı kapasitiftir ve önde gelen bir faz açısı verir.

Benzer şekilde, endüktif reaktans kapasitif reaktanstan daha büyükse, X L  > X C, o zaman genel devre reaktansı endüktiftir ve seri devreye bir gecikmeli faz açısı verir. Eğer iki reaktans aynıysa ve X L  = X C ise, bunun meydana geldiği açısal frekansa rezonans frekansı denir ve başka bir öğreticide daha ayrıntılı olarak inceleyeceğimiz rezonans etkisini üretir.

Daha sonra akımın büyüklüğü, seri RLC devresine uygulanan frekansa bağlıdır. Empedans, Z maksimumdayken, akım minimumdadır ve aynı şekilde Z minimumdayken akım maksimumdadır. Dolayısıyla empedans için yukarıdaki denklem şu şekilde yeniden yazılabilir:

seri rlc devre

Kaynak voltajı ile akım arasındaki θ faz açısı, empedans üçgenindeki Z ve R arasındaki açısı ile aynıdır. Bu faz açısı, kaynak voltajının devre akımına yol açıp açmadığına bağlı olarak pozitif veya negatif olabilir ve empedans üçgeninin omik değerlerinden matematiksel olarak hesaplanabilir:

seri rlc devre

Seri RLC Devresi Soru Örneği 1

12Ω direnç, 0.15H endüktans ve 100uF kapasitör içeren bir seri RLC devresi, 100V, 50Hz’lik bir besleme üzerinden seri olarak bağlanır. Toplam devre empedansını, devre akımını, güç faktörünü hesaplayın ve gerilim fazör diyagramını çizin.

seri rlc devre

Endüktif Reaktans, X L .

seri rlc devre

Kapasitif Reaktans, X C .

seri rlc devre

Devre Empedansı, Z .

seri rlc devre

Devre Akımı, I 

seri rlc devre

Seri RLC Devresindeki Gerilimler, V R , V L , V C .

seri rlc devre

Güç faktörü ve Faz Açısı, θ .

seri rlc devre

Fazör Diyagramı:

seri rlc devre

Faz açısı θ 51.8 o pozitif değeri olarak hesaplandığından, devrenin toplam reaktansı endüktif olmalıdır. Bir seri RLC devresinde akım vektörünü referans vektörümüz olarak aldığımız için, akım, kaynak gerilimden 51,8 o ” geride kalır”, böylece, anımsatıcı ifademiz “ELI” tarafından onaylandığı gibi, faz açısının geride olduğunu söyleyebiliriz.

Seri RLC Devre Özeti

Bir direnç, bir indüktör ve bir kapasitör içeren bir seri RLC devresinde, kaynak voltajı VS , üç bileşenden oluşan fazör toplamıdır, VR , VL ve VC , akım üçü için de ortaktır. Akım, üç bileşen için ortak olduğundan, bir voltaj üçgeni oluşturulurken yatay referans olarak kullanılır.

Devrenin empedansı, akım akışına toplam muhalefettir. Bir seri RLC devresi için ve empedans üçgeni, voltaj üçgeninin her bir tarafını akımına bölerek çizilebilir, I. Dirençli eleman boyunca voltaj düşüşü IR’ye eşittir, iki reaktif eleman boyunca voltaj IX = IXL – IXC iken kaynak voltajı I * Z’ye eşittir. VS ile I arasındaki açı faz açısı, θ olacaktır.

Birden fazla direnç içeren bir seri RLC devresi ile çalışırken, kapasitans veya endüktans saf değildir, tek bir bileşen oluşturmak için hepsi bir araya toplanabilir. Örneğin tüm dirençler toplanır, R T  = ( R 1  + R 2  + R 3  ) …vb veya tüm endüktansın L T  = ( L 1  + L 2  + L 3  ) …vb bu şekilde birçok eleman içeren bir devre olabilir. kolayca tek bir devre elemanına indirgenebilir.

seri rlc devre

Paralel RLC Devreleri hakkında bir sonraki öğreticide, karşılık gelen fazör diyagramı gösterimi ile birlikte bir kararlı durum sinüzoidal AC dalga formu uygulandığında bu sefer paralel bir devre konfigürasyonunda birbirine bağlanan üç bileşenin voltaj-akım ilişkisine bakacağız.