Karmaşık Sayılar ve Fazörler

Elektrik Mühendisliğinde dirençleri, akımları veya DC voltajlarını bir araya getirmek için kullanılan matematik sistemi, tamsayı veya kesir olarak kullanılan “gerçek sayılar” kümesini kullanır.

Ancak gerçek sayılar, özellikle frekansa bağlı sinüzoidal kaynaklar ve vektörlerle uğraşırken kullanmamız gereken tek sayı türü değildir. Normal veya gerçek sayıları kullanmanın yanı sıra , √ -1 negatif sayıların karekökü olan sayılarla karmaşık denklemlerin çözülmesini sağlamak için Karmaşık Sayılar kullanılır.

Elektrik mühendisliğinde bu tür bir sayıya “hayali sayı” denir ve sanal bir sayıyı gerçek bir sayıdan ayırt etmek için elektrik mühendisliğinde yaygın olarak j-operatörü olarak bilinen “j” harfi kullanılır. Böylece “j” harfi, onun hayali sayı işlemini belirtmek için gerçek bir sayının önüne yerleştirilir.

Karmaşık Sayılar, iki farklı eksene referans verilen iki boyutlu bir kompleks veya s-düzlemindeki noktaları temsil eder. Yatay eksene “gerçek eksen”, dikey eksene “hayali eksen” denir. Bir karmaşık sayının reel ve sanal kısımları sırasıyla Re(z) ve Im(z) olarak kısaltılır.

Gerçek (aktif bileşen) ve hayali (reaktif bileşen) sayılardan oluşan karmaşık sayılar, DC Devrelerini analiz etmek için kullanılan temel cebir ile tamamen aynı şekilde eklenebilir, çıkarılabilir ve kullanılabilir.

Matematikte hayali sayıların toplanması veya çıkarılması için kullanılan kurallar ve yasalar, gerçek sayılarla aynıdır, j2 + j4 = j6 vb. Tek fark çarpmadadır, çünkü iki hayali sayı birlikte çarpıldığında negatif bir gerçek sayı olur. Gerçek sayılar aynı zamanda karmaşık bir sayı olarak da düşünülebilir, ancak j0 olarak etiketlenmiş sıfır hayali bir kısmı vardır.

J operatörü tam olarak √-1’e eşit bir değere sahiptir, bu nedenle “ j “, ( j x j ) ardışık çarpımı, j’nin aşağıdaki -1, -j ve +1 değerlerine sahip olmasına neden olur. J operatörü, bir vektörün saat yönünün tersine dönüşünü belirtmek için yaygın olarak kullanılır. Her ardışık çarpma veya güç vektörü saat yönünün tersine 90^o sabit bir açıyla döndürmeye zorlayacaktır. Benzer şekilde, vektörün çarpımı a-j operatörü ile sonuçlanırsa, faz kayması-90^o, yani saat yönünde bir dönüş olacaktır.

j-Operatörünün Vektör Dönüşü

Böylece, hayali bir sayıyı j² ile çarpmak vektörü saat yönünün tersine 180^o döndürür, j³ ile çarpmak 270^o döndürür ve j⁴ ile çarpmak 360^o döndürür veya orijinal konumuna geri döndürür. j¹⁰ veya j³⁰ ile çarpmak, vektörün uygun miktarda saat yönünün tersine dönmesine neden olur. Birbirini izleyen her dönüşte, vektörün büyüklüğü her zaman aynı kalır. Bu yüzden j’nin kuvveti ne kadar büyük olursa olsun hesaplama yaparken büyük kuvveti mod(4) olarak alırsanız, işlemleriniz kolaylaşır.

Elektrik Mühendisliğinde karmaşık bir sayıyı grafik veya matematiksel olarak temsil etmenin farklı yolları vardır. Kosinüs ve sinüs kuralını kullanarak, Kartezyen veya Dikdörtgen Form gösterimlerini yapabiliriz.

Dikdörtgen Formu Kullanan Karmaşık Sayılar

Fazörlerle ilgili son öğreticide, karmaşık bir sayının, aşağıdakilerin genelleştirilmiş biçimini alan bir reel kısım ve bir sanal kısım ile temsil edildiğini gördük:

• Burada:
•   Z   – Vektörü temsil eden Karmaşık Sayıdır
•   x   – Gerçek kısım veya Aktif bileşendir
•   y   – Hayali kısım veya Reaktif bileşendir
•   j   – √-1 ile tanımlanır

Dikdörtgen biçiminde, karmaşık bir sayı, karmaşık veya s-düzlemi olarak adlandırılan iki boyutlu bir düzlemde bir nokta olarak temsil edilebilir. Örneğin, Z = 6 + j4 , koordinatları gösterildiği gibi yatay gerçek eksende 6 ve dikey hayali eksende 4’ü temsil eden tek bir noktayı temsil eder.

Karmaşık veya s-düzlemini Kullanan Karmaşık Sayılar

Ancak dikdörtgen biçimindeki bir karmaşık sayının hem reel hem de sanal kısımları pozitif veya negatif bir sayı olabileceğinden, hem reel hem de sanal eksen hem pozitif hem de negatif yönlerde uzanmalıdır. Bu daha sonra aşağıda gösterildiği gibi Argand Diyagramı adı verilen dört kadranlı karmaşık bir düzlem üretir.

Dört Çeyrek Argand Diyagramı

Argand diyagramında yatay eksen, dikey sanal eksenin sağındaki tüm pozitif gerçek sayıları ve dikey sanal eksenin solundaki tüm negatif gerçek sayıları temsil eder. Tüm pozitif sanal sayılar yatay eksenin üzerinde gösterilirken tüm negatif sanal sayılar yatay gerçek eksenin altındadır. Bu daha sonra QI , QII , QIII ve QIV olarak etiketlenmiş dört farklı kadranlı iki boyutlu bir karmaşık düzlem üretir.

Yukarıdaki Argand diyagramı, yarıçapı fazörün büyüklüğü tarafından verilen karmaşık düzlemde bir nokta olarak dönen bir fazörü her 2π/ω saniyede bir etrafında tam bir daire çizecek şekilde temsil etmek için de kullanılabilir.

Daha sonra, 90^o‘lik dönüşler için hem kutupsal hem de dikdörtgen biçimde karmaşık bir sayının tanımını göstermek için bu fikri daha da genişletebiliriz.

Karmaşık Sayılar ayrıca Z = 6 + j0 veya Z = 0 + j4 gibi “sıfır” gerçek veya sanal kısımlara sahip olabilir. Bu durumda noktalar doğrudan gerçek veya hayali eksene çizilir. Ayrıca, karmaşık bir sayının açısı, dik açılı üçgenlerin açılarını hesaplamak için basit trigonometri kullanılarak hesaplanabilir veya pozitif gerçek eksenden başlayarak Argand diyagramı etrafında saat yönünün tersine ölçülebilir.

O zaman 0^o ile 90^o arasındaki açılar birinci çeyrekte ( I ), 90^o ile 180^o arasındaki açılar ( θ) ikinci çeyrekte ( II ) olacaktır. Üçüncü kadran ( III ) 180^o ila 270^o arasındaki açıları içerirken, tam daireyi tamamlayan dördüncü ve son kadran (IV ) 270^o ila 360^o arasındaki açıları içerir. Dört kadranın hepsinde ilgili açılar şu şekilde bulunabilir:

tan ^-1 (hayali bileşen ÷ gerçek bileşen)

Karmaşık Sayılarda Toplama ve Çıkarma

Karmaşık sayıların toplanması veya çıkarılması, matematiksel veya grafiksel olarak dikdörtgen biçiminde yapılabilir. Toplama için, önce reel kısımlar toplamın gerçel kısmını oluşturacak şekilde bir araya getirilir, daha sonra toplamın sanal kısmını oluşturacak şekilde sanal kısımlar toplanır ve bu işlem A ve B gibi iki karmaşık sayı adlandırılması yapılarak kolay bir şekilde işlem yapılabilir:

Karmaşık Toplama ve Çıkarma

Karmaşık Sayılar Soru Örneği 1

İki vektör sırasıyla A = 4 + j1 ve B = 2 + j3 olarak tanımlanır. İki vektörün hem dikdörtgen ( a + jb  ) biçiminde hem de grafiksel olarak bir Argand Diyagramı olarak toplamını ve farkını belirleyin .

Matematiksel Toplama ve Çıkarma

Toplama

Çıkarma

Grafik Toplama ve Çıkarma

Karmaşık Sayılarda Çarpma ve Bölme

Karmaşık sayıların dikdörtgen biçiminde çarpımı, j-operatörünün ardışık çarpımı için bazı ek kurallarla birlikte, normal cebir ile aşağı yukarı aynı kuralları takip eder, burada: j ²  = -1 dir. Örneğin, yukarıdan A = 4 + j1 ve B = 2 + j3 vektörlerimizi çarparsak bize aşağıdaki sonucu verir.

Matematiksel olarak, karmaşık sayıların dikdörtgen biçiminde bölünmesi, denklemin paydasını gerçek bir sayıya dönüştürmek için payda eşlenik işlevinin kullanılmasını gerektirdiğinden gerçekleştirmek biraz daha zordur. Buna “rasyonelleştirme” denir. Karmaşık sayıların bölünmesini en iyi şekilde daha sonra inceleyeceğimiz “Kutup Biçimi” kullanılarak gerçekleştirilir. Ancak, dikdörtgen biçiminde bir örnek olarak, A vektörünün değerini B vektörüne bölünerek bulalım .

Karmaşık Eşlenik

Kompleks bir eşlenik, veya sadece Konjugat bir karmaşık sayının aynı gerçek sayıda ön işaret tutmak ve birisinin kompleks eşleniğinin tespit etmek sadece karmaşık sayılar hayali sayısının ön işaret tersine çevrilmesiyle bulunur z simgesi kullanılır. Örneğin, konjügat z = 6 + j4 olan Z  J4 – = 6 arasında aynı şekilde konjugatı z = 6 – j4 olan Z  = 6 + J4 .

Karmaşık bir eşlenik için Argand diyagramındaki noktalar, gerçek eksende orijinal karmaşık sayı ile aynı yatay konuma sahiptir, ancak dikey konumlara zıttır. Bu nedenle, karmaşık eşlenikler, karmaşık bir sayının yansıması olarak düşünülebilir. Aşağıdaki örnek, karmaşık bir sayı olan 6 + j4’ü ve karmaşık düzlemdeki eşleniğini göstermektedir.

Eşlenik Karmaşık Sayılar

Bir karmaşık sayının ve onun karmaşık eşleniğinin toplamı yukarıda gördüğümüz gibi her zaman gerçek bir sayı olacaktır. Daha sonra bir karmaşık sayının ve onun eşleniğinin eklenmesi sonucu yalnızca gerçek sayı veya etkin bileşen olarak verirken, bunların çıkarılması yalnızca sanal bir sayı veya yalnızca reaktif bileşen verir. Karmaşık bir sayının eşleniği, bir AC devresinin dikdörtgen biçimini kullanarak görünen gücünü belirlemek için Elektrik Mühendisliğinde kullanılan önemli bir unsurdur.

Kutup Formu Kullanan Karmaşık Sayılar

Noktaları karmaşık düzlemde çizen dikdörtgen biçiminden farklı olarak, bir karmaşık sayının Kutup Biçimi , büyüklüğü ve açısıyla yazılır. Bu durumda, bir polar bir şekilde vektör olarak sunulmuştu , Z = 1 ∠ ± θ , burada: Z, polar bir biçimde kompleks bir sayıdır, bir vektörün büyüklüğü ya da modül olup θ açısının ya da argümanı A da olabilir. Noktanın büyüklüğü ve açısı yukarıdaki dikdörtgen formdakiyle aynı kalır, bu sefer kutupsal formda noktanın konumu aşağıda gösterildiği gibi “üçgen formda” temsil edilir.

Bir Karmaşık Sayının Kutup Biçimli Gösterimi

Bir noktanın kutupsal temsili üçgen biçimine dayandığından, karmaşık sayının hem büyüklüğünü hem de açısını bulmak için üçgenin basit geometrisini ve özellikle trigonometriyi ve Pisagor Teoremi’ni üçgenler üzerinde kullanabiliriz. Okuldan hatırladığımız gibi, trigonometri, üçgenlerin kenarları ve açıları arasındaki ilişkiyle ilgilenir, böylece taraflar arasındaki ilişkileri şu şekilde tanımlayabiliriz:

Yine trigonometri kullanarak, açı θ arasında A , aşağıdaki gibi verilmiştir.

Daha sonra Kutupsal formda A’nın uzunluğu ve açısı bir nokta yerine karmaşık sayıyı temsil eder. Ayrıca polar formda, karmaşık sayının konjugatı aynı büyüklüğe veya modüle sahiptir, değişen açının işaretidir, bu nedenle örneğin 6 ≤ 30^o‘nun konjugatı 6 ≤ – 30^o olacaktır.

Dikdörtgen Form ve Polar Form Arasında Dönüştürme

Dikdörtgen formda, bir vektörü dikdörtgen koordinatları cinsinden ifade edebiliriz; yatay eksen gerçek ekseni ve dikey eksen hayali ekseni veya j bileşenidir. Kutup biçiminde bu gerçek ve sanal eksenler basitçe “ A ∠θ ” ile temsil edilir. Daha sonra yukarıdaki örneğimizi kullanarak, dikdörtgen form ile kutupsal form arasındaki ilişki olarak tanımlanabilir.

Polar Formu Dikdörtgen Forma Dönüştürme, ( P→R )

Dikdörtgen formdan kutupsal forma da aşağıdaki gibi dönebiliriz.

Dikdörtgen Formu Polar Forma Dönüştürme, ( R→P )

Kutup Formu Çarpma ve Bölme

Dikdörtgen biçim, yukarıda gördüğümüz gibi karmaşık sayıları toplamak ve çıkarmak için en iyisidir, ancak kutupsal biçim genellikle çarpma ve bölme için daha iyidir. İki vektörü kutupsal biçimde çarpmak için önce iki modülü veya büyüklüğü birlikte çarpmamız ve sonra açılarını toplamamız gerekir.

Kutup Biçiminde Çarpma

Birlikte çarpılması 6 ∠30 ^o ve 8 ∠- 45 ^o kutupsal formda vermesidir.

Kutup Biçiminde Bölme

Benzer şekilde, iki vektörü kutupsal biçimde birbirine bölmek için, iki modülü bölmeli ve sonra gösterildiği gibi açılarını çıkarmalıyız.

Neyse ki günümüzün modern bilimsel hesap makineleri, dikdörtgenin kutupsal forma ( R → P  ) ve kutuptan dikdörtgen forma (  R → P  ) kolayca dönüştürülmesine izin veren matematiksel fonksiyonlara (kitabınızı kontrol edin  ) sahiptir.

Üstel Form Kullanan Karmaşık Sayılar

Buraya kadar karmaşık sayıları Dikdörtgen Formda (  a+jb  ) ve Kutup Formunda (  A ∠±θ  ) düşündük. Ancak, sinüzoidin uzunluğuna (büyüklüğüne) ve faz açısına karşılık gelen, ancak doğal logaritmanın tabanını kullanan kutupsal forma benzer bir karmaşık sayıyı temsil etmek için üçüncü bir yöntem de vardır karmaşık sayının değerini bulmak için e  = 2.718 281… kullanılır. Bu üçüncü yönteme Üstel Form adı verilir.

Üstel Form, karmaşık üsteli karmaşık düzlemde dönen bir nokta olarak tanımlamak için dik açılı bir üçgenin hem sinüs ( sin ) hem de kosinüs ( cos ) değerlerinin trigonometrik fonksiyonlarını kullanır. Noktanın konumunu bulmak için üstel form, İsviçreli matematikçi Leonhard Euler’in adını taşıyan Euler’in Kimliğine dayanır ve şöyle verilir:

Daha sonra Euler’in kimliği, karmaşık düzlemde aşağıdaki dönen fazör diyagramı ile temsil edilebilir.

Euler’in kimliğinin yukarıdaki kutup formuna çok benzediğini ve bize, büyüklüğü 1 olan Ae^jθ gibi bir sayının da karmaşık bir sayı olduğunu gösterdiğini görebiliriz. Üstel formda olan karmaşık sayıları sadece 2e ^j30 = 2 √ 30, 10e ^j120 = 10 √ 120 veya-6e ^j90 = -6 √ 90 gibi kutupsal forma kolayca dönüştürmekle kalmaz, aynı zamanda Euler’in kimliği de bize karmaşık bir sayıyı üstel formundan dikdörtgen formuna dönüştürmenin bir yolunu sunar. Daha sonra karmaşık bir sayının tanımlanmasında Üstel, Kutupsal ve Dikdörtgen biçim arasındaki ilişki şöyle verilir.

Karmaşık Sayı Formları

Fazör Gösterimi

Şimdiye kadar karmaşık düzlemde bir noktayı tanımlamak için karmaşık sayıları kullanarak dönen bir vektörü veya durağan bir vektörü temsil etmenin farklı yollarını inceledik. Fazör gösterimi, verilen sinüzoidal dalga formunun genliğine ve faz açısına sahip tek bir karmaşık sayı oluşturma işlemidir.

Daha sonra fazör gösterimi veya bazen adlandırıldığı gibi fazör dönüşümü, sinüzoidal fonksiyonun gerçek kısmını aktarır: A(t) = Am cos(wt ± Φ) zaman alanından frekans alanı olarak da adlandırılan karmaşık sayı alanına. Örneğin:

Lütfen √ 2’nin maksimum genliği radyan cinsinden verilen faz açısı ( ω  ) ile efektif veya RMS değerine dönüştürdüğünü unutmayın.

Karmaşık Sayıların Özeti

Ardından, Karmaşık Sayılar ve elektrik mühendisliğinde karmaşık sayıların kullanımı hakkındaki bu öğreticiyi özetlemek için.

• Karmaşık Sayılar, bir gerçek sayı ve bir sanal sayı olmak üzere iki farklı sayıdan oluşur.
• Sanal sayılar j-operatörü kullanılarak gerçek sayıdan ayırt edilir.
• Önünde ” j ” harfi bulunan bir sayı, onu karmaşık düzlemde hayali bir sayı olarak tanımlar.
• Tanım olarak, j-operatörü j ≡ √ -1
• Hayali sayılar, gerçek sayılarla aynı şekilde toplanabilir, çıkarılabilir, çarpılabilir ve bölünebilir.
• ” j “nin ” j ” ile çarpımı j ²  = -1 verir
• Dikdörtgen Formda karmaşık bir sayı, karmaşık düzlemde uzayda bir nokta ile temsil edilir.
• Kutupsal Formda karmaşık bir sayı, uzunluğu genlik olan bir çizgi ve faz açısı ile temsil edilir.
• Üstel Formda karmaşık bir sayı, doğal logaritmanın tabanını kullanan bir çizgi ve karşılık gelen açı ile temsil edilir.
• Karmaşık bir sayı üç yoldan biriyle temsil edilebilir:
  • Z = x + jy    » Dikdörtgen Form
  • Z = A ∠Φ    » Kutupsal Form
  • Z = A  e  ^jΦ    » Üstel Form
• Euler’in kimliği, Karmaşık Sayıları üstel biçimden dikdörtgen biçime dönüştürmek için kullanılabilir.

Bu da dahil olmak üzere önceki derslerde, sinüzoidal dalga formlarını temsil etmek için fazörleri kullanabileceğimizi ve genliklerinin ve faz açılarının karmaşık bir sayı şeklinde yazılabileceğini gördük. Ayrıca, Karmaşık Sayıların, toplama, çıkarma, çarpma ve bölme dahil olmak üzere her karmaşık sayı cebir formu arasındaki dönüşümle dikdörtgen, kutupsal veya üstel formda sunulabileceğini gördük.

AC serisi devrelerdeki fazör ilişkisi ile ilgili sonraki birkaç öğreticide, bazı ortak pasif devre bileşenlerinin empedansına bakacağız ve hem bileşenden akan akım hem de uygulanan voltaj için fazör diyagramlarını çizeceğiz.